Сказочная формула Эйлера

Сказочная формула Эйлера

Здесь мы исследуем и понимаем блестящую формулу, которая раскрывает силу комплексных чисел.

Первые впечатления

В каком-то смысле очевидно, почему он знаменит. Как что! e, возведенный в квадратный корень из -1, умноженный на пи, дает -1. Как!??!! Я помню, как был поражен этим.

Тем не менее, это оказывается почти определением комплексных чисел, идеей, которую мы можем написать:

Он расширяет определение e, чтобы иметь смысл для комплексных чисел, но по-прежнему имеет смысл с определением e для действительных чисел. Позже все это будет иметь смысл, но поначалу это просто ошеломляет!

Во-первых, давайте по-настоящему поймем правую часть уравнения, которая прекрасно сочетается с элементарной геометрией.

Визуализация комплексных чисел

В качестве первого прохода мы можем рассматривать комплексные числа как точку на 2D-плоскости, описываемую радиусом и их углом, или определяемую их координатой x и координатой y. Ось Y соответствует «мнимой оси», а ось X соответствует «действительной оси». Таким образом, точки (2,3) соответствуют 2 + 3i, где i - квадратный корень из -1.

Сложение двух комплексных чисел соответствует простому сложению их действительной и мнимой частей. Так, например, (2 + 3i) + (1 + 5i) = (3 + 8i)

Умножение можно визуализировать интересно: оно соответствует повороту и изменению радиуса. Здесь квадратный корень из отрицательной единицы имеет смысл, поскольку мы расширили определение умножения! Точка i имеет угол 90 градусов и длину 1. Итак, когда мы умножаем точку z на i, мы поворачиваем ее на 90 градусов и масштабируем радиус на 1. Конечно, масштабирование радиуса на 1 оставляет его прежним. Если бы мы умножили z на 2i, то оно было бы повернуто на 90 градусов и растянуто наружу с коэффициентом 2.

Теперь сделаем что-нибудь немного дерзкое. Давайте воспользуемся правилами для e, определенными для действительных чисел и для комплексных чисел, и посмотрим, как все получится! Давайте умножим два числа вместе. Однако мы делаем что-то немного… странное. Записываем наше комплексное число в форму ниже. (Это станет более понятным позже !!)

Сначала покажем их на комплексной плоскости. z_1 - синяя линия с большим углом и радиусом, а z_2 - красная линия с меньшим углом и радиусом.

Теперь мы умножаем их вместе, показывая, что происходит визуально и алгебраически.

Визуально, когда мы «умножаем» красную и синюю линии (или «векторы»), мы получаем фиолетовую линию.

При комплексном умножении мы суммируем углы и умножаем радиусы. Угол фиолетовой линии - это сумма угла красной линии и угла синей линии. Длина фиолетовой линии равна произведению длины красной линии и длины синей линии.

Теперь давайте посмотрим, что происходит с фиолетовой линией, когда мы вращаем красную линию. На диаграмме ниже показано, что его длина остается прежней, но фиолетовые линии вращаются на ту же величину, что и красная!

Теперь давайте формализуем это с помощью некоторой алгебры

Выше мы видим, что у нас есть два перемноженных е. Теперь сделаем что-нибудь немного дерзкое. Мы знаем, что для реальных чисел:

Итак, мы пытаемся удачи и используем то же правило, которое мы не формально обосновали! - для комплексных чисел.

Итак, в целом мы получаем следующее:

Итак, алгебраически мы получаем то, что видели визуально! Чтобы вычислить произведение двух комплексных чисел, мы суммируем их углы и умножаем их радиусы.

e, sin, cos и магия

Теперь давайте посмотрим, как мы записывали комплексные числа.

Мы могли бы выразить это в терминах действительной части и сложной части, или мы могли бы выразить это в терминах радиуса и угла.

Как мы можем связать этих двоих?

Начнем с записи z = x + iy

Теперь посмотрим на эти два представления.

На картинке слева наше комплексное число записывается как сумма действительной и мнимой частей. Изображение справа преобразует это в запись этих компонентов в терминах cos и sin, используя обычное определение из тригонометрии.

Ладно, это кажется изящным. А теперь пришло волшебство.

Это гений Эйлера. Он расширил определение e, чтобы естественно работать с операциями, определенными над комплексными числами. (Насколько блестящей была его идея, станет ясно, если вы сделаете дополнительный раздел о степенных рядах!)

Самая известная линия в математике

Теперь мы взглянем на, пожалуй, самую известную линию во всей математике.

Давайте распакуем это с помощью наших новых инструментов:

Формула подчеркивает красоту связи Эйлера между e и комплексными числами, но на самом деле ее не так сложно понять, если мы разберемся с определениями и обозначениями. Все, что мы делаем, - это преобразование числа из его представления в терминах радиуса и угла в его представление как действительная часть + мнимая часть.

На этом история не заканчивается. Формула намекает, насколько волшебным будет мир комплексных чисел. Тем не менее, чтобы раскрыть секреты исчисления комплексных чисел, потребовались математики XIX века, особенно Коши и Риман.

Power Series - и расширение определения «e» (необязательно, но настоятельно рекомендуется для любопытных!)

Ряды степеней дают хороший способ расширить определение e, sin и cos от их определения как функции от действительных чисел до действительных чисел. , к их определению на комплексной плоскости.

Это показывает, что определение Эйлера действительно прекрасно сочетается с определениями действительных чисел.

e ^ x, sin (x), и cos (x) можно определить как степенной ряд.

Это означает, что для каждой точки x значение каждой из этих функций можно оценить бесконечными суммами, указанными выше. «…» Означает, что образец продолжается бесконечно. Я напишу только первые несколько терминов, а затем напишу «…», чтобы экран не был заполнен бесконечным количеством терминов из степенного ряда!

Теперь вспомните, что i² = -1, именно так мы начали рассматривать комплексные числа. Так почему бы нам не попробовать следующее

Нам нужно упростить все возможности i.

Затем этот образец повторяется. Например. i⁷ = i⁴i³ = 1 (-i) = -i

Итак, упрощаем:

Ok! Это кажется многообещающим. Теперь разделим реальную и мнимую части.

Ух ты. Это очень многообещающе. Вспомните определение sin и cos степенным рядом? Если я напишу еще несколько терминов, и вы вспомните ряд степеней, которые я написал в начале этого раздела:

Я дам тебе последний шанс заметить это! …… (!!)

Удивительный!

Получается, что с нашим определением i и с нашим определением степенного ряда cos и sin и e , формула имеет отличный смысл. Геометрическое определение умножения комплексных чисел не только выглядит круто, но и удивительно связывает значение e с cos и sin .

Эпилог

Кто бы мог подумать! Функции, созданные греками для описания координат на кругах (cos и sin), имеют мистическую связь с функцией, которая дифференцируется сама с собой, e , как только мы расширим числа, чтобы включить квадратный корень из отрицательной единицы.

Это чудесный мир.

Пожалуйста, оставьте свои комментарии и исправления ниже! Я стараюсь читать все и отвечать на них, а также корректирую статьи, если люди замечают ошибки. Если вы пишете в твиттер, я иногда размещаю обновления и сообщения о проблемах, над которыми работаю, там, где я ethan_the_mathmo. Спасибо за чтение :)