Математическое пространство

Математическое пространство — это совокупность объектов с определенной над ними структурой. Это определение в целом, а также используемые в нем слова и их отношения могут показаться слишком расплывчатыми, широкими и двусмысленными. Что такое «объект»? Что такое «коллекция» и «структура»? Почему структура «определена», а не принадлежит этим объектам или их коллекции? И если он определен, то кто и почему определяет его?

Вместо того чтобы интуитивно угадывать ответы на эти вопросы, мы могли бы строить наше понимание этих расплывчатых и сложных понятий на ограниченной основе простых, узких, четко определенных, ясных и отчетливых понятий, как это сделал Рене Декарт, один из создателей современная философия и алгебра, в розыске. Однако в то же время он отмечал, что человеческий разум — очень плохой изобретатель. Он не может создать ничего действительно нового. Зато очень хорош в микшировании и комбинировании уже известных ему блоков. Если мы пойдем по пути чрезмерного сокращения количества, разнообразия и общности этих блоков, мы можем в конечном итоге оказаться не в состоянии отделить сложные понятия (если вообще) от простых, четких и ясных блоков.

Поэтому, возможно, нам лучше определить простые, четко определенные и четкие правила сочетания потенциально непрозрачных, сложных и только интуитивно понятных строительных блоков. Чтобы подлить масла в огонь, постмодернизм указал, что интуиция зависит от личного опыта, поэтому у каждого человека будут отличные от других врожденные понятия. Вопрос «твой «красный» такой же, как мой «красный»?» не обязательно предполагает утвердительный ответ. Тем не менее, мы можем присвоить ярлыки или жетоны (слово «красный») явлениям реального мира, надеясь, что каждый сам разберется с отношениями своих внутренних ментальных образов с этими ярлыками, вероятно, на подсознательном/бессознательном уровне.

В этом контексте Хомский LAD (устройство овладения языком) можно также расшифровать как устройство овладения «этикеткой», потому что эти врожденные концепции понимания реального мира встроены в естественные человеческие языки. Например, само понятие числа 1 (и других чисел, кроме 1) представлено во всех (?) грамматиках человеческих языков в той или иной форме одиночного или множественного грамматического числа, или даже динамика перехода от 1 ко многим через 1+ 1=2 (через двойное грамматическое число, явно опущенное во многих современных языках).

Поэтому нам может и не понадобиться лезть в кроличью нору чисто аналитических онтологий, рискуя остаться ни с чем: «это есть/состоит из того и того, которые, в свою очередь, есть/состоят из еще более мелких и простых вещей» , пока они не исчезнут. Вместо этого на каком-то уровне мы можем начать мыслить в терминах более синтетических онтологий типа: это может мыслиться как то (и то, или то) в их комбинациях и отношениях (а также другие равноправные комбинации других «этих»). с).

На основе этих глубоких, даже встроенных в язык концепций натуральных чисел совершенно естественным образом возникают формальные математические аксиомы, такие как аксиомы Пеано: для каждого натурального числа x существует только один последующий элемент y=s(x)=x+1; если преемники равны, то равны и их предшественники; есть только одно число — 1 — которое не является преемником какого-либо числа; 1 со своими последователями охватывает весь набор натуральных чисел N.

Математика всегда была предметом забавы, что такая, казалось бы, искусственная конструкция из мира фантазий может быть настолько полезной, будучи примененной к проблемам реального мира. Между тем математические представления всегда основываются, с одной стороны, на явлениях реального мира, а с другой стороны, на человеческих закономерностях восприятия и осмысления мира. Можно с полным основанием ожидать, что куда бы ни вели нас эти понятия, их диапазон будет один и тот же — человеческое понимание мира, т. е. человек всегда может найти области своего применения.

Вышеизложенное подразумевает, что внеземной или искусственный интеллект с потенциально разными способами наблюдения и понимания реального мира может развивать совершенно другую математику. Даже люди, использующие отличные от «обычных» наборы аксиом, разработали совершенно разные математические теории, но мы можем ожидать, что разница между инопланетянами и ИИ будет в гораздо большем масштабе.

Однако давайте вернемся в следующей главе к способам осмысления «наборов объектов» и «математической структуры, заданной над ними» из исходного определения…

Использованная литература:

Халмос, Пол Р., 1960: Наивная теория множеств. Принстон, Нью-Джерси: D. Van Nostrand Company, Inc., представитель. 2017, Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications, Inc.

Мендельсон, Барт, 1975: Введение в топологию. Бостон: Аллин и Бэкон, первое издание 1962 г., второе издание 1968 г., репр. 1990, Нью-Йорк: Dover Publications, Inc.

Пинтер, Чарльз С., 1971: Книга по теории множеств. Рединг, Массачусетс: издательство Addison-Wesley Publishing Company, репр. 2014, Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications, Inc.