Многие системы (например, погода, фондовый рынок) описываются сложными нелинейными дифференциальными уравнениями. В такой системе небольшая дельта в начальном начальном состоянии может привести к огромной разнице в том, как она развивается и где заканчивается. Это ключевая идея теории хаоса, то есть некоторые системы очень чувствительны к начальным условиям, настолько, что мы не можем надежно предсказать результат их простой динамики. Но всякий раз, когда у нас есть что-то непостижимое, полезно это изучить; все наше научное упражнение состоит в установлении порядка в хаосе, независимо от того, является ли хаос природой вещей или просто нашим субъективным опытом.
А. Применение теории хаоса
Классический способ оценки хаоса из теории хаоса — это Максимальный показатель Ляпунова, который количественно определяет предсказуемость динамической системы по скорости ее отделения от траекторий, возникающих из близких начальных состояний. В этой статье мы акцентируем внимание на том, что у нас есть только 1 траектория, и у нас нет симулятора для семплирования из разных начальных точек.
- Одна вещь, на которую Теория Хаоса помогает ответить, — это вопрос самой дальней точки, в которой предсказание будущего поведения является наиболее достоверным. Например, в прогнозировании погоды это означает оценку того, на сколько дней вперед мы можем надежно предсказать погоду, используя ту же модель.
- Теория хаоса также помогает нам понять фракталы, которые представляют собойповторяющиеся нелинейные паттерны, начиная от простых паттернов и заканчивая чрезвычайно сложными паттернами. Это позволяет нам создавать более мощные симуляторы, используя простую арифметику.
Б. Цели
Учитывая динамическую систему, поведение которой наблюдается с точки зрения порядкового дискретного временного ряда, наш метод будет стремиться ответить на следующие вопросы:
- Каков наилучший диапазон временных шагов, в котором временной ряд (поведение системы) наиболее стабилен? Это помогает нам прогнозировать стабильные точки, которые отражают эволюцию временных рядов, а не шум.
- Насколько хаотичен временной ряд по сравнению с другими? В случае трейдинга это помогает нам сосредоточиться на том, что является более предсказуемым (и, следовательно, более прибыльным), чем на том, что является ценным, но, возможно, трудно предсказуемым (и, следовательно, более риски).
С. Метод
В общих чертах можно сказать, что порядковая динамическая система демонстрирует хаотическое поведение, если ее выборочные траектории сильно расходятся при малой разнице в начальных точках. И наоборот, стабильное поведение следует за регрессией к модели среднего (то, что растет, должно снижаться), так что временной ряд будет подсерией «стабильных точек», которые лучше всего отражают эволюцию временного ряда за вычетом хаоса или шума.
Учитывая эту интуицию, для данного порядкового временного ряда мы выполним преобразование Фурье для разных интервалов (промежуток — это количество последовательных временных шагов) и различных начальных начальных точек временного ряда.
- Чтобы оценить наиболее стабильный отрезок временного ряда, мы оцениваем все отрезки для каждой начальной начальной точки временного ряда, поэтому каждый отрезок будет иметь уникальную начальную точку и количество временных шагов. Затем мы смотрим на распределение разложенных частот и смотрим, насколько они «нормальны», чтобы определить наиболее стабильный диапазон. Нормальность здесь сигнализирует о «стабильности», представление о том, что поднимается, должно опускаться. Этот стабильный диапазон помогает нам оценить самую отдаленную точку, которую мы можем предсказать во временном ряду, до того, как его модели начнут расходиться (становиться хаотичными).
- Чтобы оценить общую стабильность временного ряда, мы смотрим на распределение лучших интервалов (на основе абсолютного количества) для всех начальных начальных точек. Чем более централизовано распределение, тем менее хаотичен временной ряд, и наоборот. Мы даем этому измерению централизации название — оценка хаоса—значение от 0 до 1, где 1 указывает на абсолютную стабильность. Эта оценка помогает нам сравнивать данные разных временных рядов по их стабильности.
Д. Эксперимент
1. Данные
Для демонстрации здесь мы используем ДВА временных ряда: один стабильный и один хаотичный. Стабильный временной ряд — это обычная Sin Wave, хаотичный временной ряд — это дневная цена закрытия акций Google (GOOG).
2. Примерка
В процессе подгонки мы видим, что масса для цен Google становится все более «заостренной», это показывает, что наш метод становится более уверенным в том, что является наиболее стабильным диапазоном. И наоборот, поскольку Sin Wave не проявляет неравномерности, ее распределение не изменится уже после 1 итерации.
3. Результаты
Оценка хаоса для Sin Wave составляет 1,00, а для Google — около 0,05. Оценка (0–1) измеряет стабильность данного временного ряда, где 1 указывает на абсолютную стабильность. Лучший диапазон для Sin Wave – 4, а лучший диапазон для цен Google – 3.
Sin Wave:ниже мы показываем, что стабильный ряд, определяемый рассчитанным размахом, формирует линию тренда, которая лучше всего компенсирует шум (подъемы и спады).
Google:то же самое относится и к курсам акций Google; стабильная точка устанавливается через каждые 3 временных шага исходного временного ряда, так что этот стабильный ряд представляет собой линию тренда временного ряда.
Е. Резюме
Некоторые ключевые выводы из анализа S&P500 с помощью нашего метода:
- Fifth Third Bank вносит самый стабильный вклад в S&P 500, а Nike — самый нестабильный, с примерно в 2 раза большим количеством нарушений, чем у FT Bank.
- Для акций стабильный регрессивный цикл в соответствии с «неизвестным» средним имеет тенденцию происходить каждые 3 дня.
- Мы можем визуализировать хаос в S&P 500, вычислив внешние произведения показателей хаоса для всех акций; некоторые кластеры хорошо видны, как видно на фото на обложке.
Обсуждение
- Допустим, мы хотим построить линию тренда, используя скользящее среднее n. Какое значение n будет наиболее репрезентативным?
- Что касается обучения высокочастотного предиктора, как мы можем быть уверены, что не обучаем модель большему количеству шума, чем сигнала?
