Введение в вейвлеты и математику свертки

Мотивация

Ранее мы обсуждали, как разложить интересующий сигнал на частотные составляющие с помощью преобразования Фурье.

Что, если мы хотим охарактеризовать, где в сигнале встречаются заданные частоты? Вейвлет-преобразование решает именно эту проблему, позволяя нам локализовать, где в сигнале появляются такие особенности, как частотные компоненты.

В науке о данных нас часто интересует локализация конкретных частот. Вейвлет-свертка — бесценный инструмент, который можно добавить в наш набор инструментов для цифровой обработки сигналов.

Что такое вейвлет?

Вейвлет происходит от французского «ondelette»: небольшая волна. Во-первых, прелесть. Во-вторых, довольно удачно! Вейвлет — это осциллятор с короткой продолжительностью.

Существует множество различных вейвлетов, оптимизированных для разных приложений, но мы рассмотрим самые простые. Рисунок 1 показывает действительную и мнимую составляющие синусоидального импульса, модулированного по Гауссу. Название дает много намеков! Это простая ортогональная (т. е. косинусоидальная и синусоидальная) пара, которая модулируется (т. е. линейно увеличивается и уменьшается) гауссианом. Огибающая этой вейвлет-функции является гауссовой.

Визуализация свертки вейвлета

Теперь давайте применим вейвлет-свертку! Давайте определим FM-чирп как сигнал, который мы хотим охарактеризовать. Мы увеличим его с 1 Гц до 15 Гц (Рисунок 2, первый подграфик). Чтобы проанализировать наш сигнал, давайте создадим вейвлет на частоте 8 Гц, т. е. функцию синуса и косинуса 8 Гц, модулированную гауссианом.

Давайте посмотрим, что произойдет, когда мы свернем их. Свертка просто влечет за собой скольжение нашего вейвлета вдоль нашего целевого сигнала (Рисунок 2, второй участок графика), поточечное умножение (Рисунок 2, третий участок графика) и суммирование. Взятие величины комплексной пары приводит к рисунку 4,четвертому подграфику.

Проверь это! Свертка с нашим вейвлетом 8 Гц правильно указывает, где в нашем щебете происходит 8 Гц. Мы использовали вейвлет-свертку для локализации частотных характеристик нашего сигнала.

Свертка вейвлета дала нам инструмент для определения того, где в сигнале встречаются частоты. Что, если у нас нет конкретной интересующей частоты? Далее мы рассмотрим применение непрерывного вейвлет-преобразования (CWT) для локализации частот в широком диапазоне!

Спасибо, что нашли время прочитать!