1.Элементарный пример точности теоремы Сарда(arXiv)
Автор:Хуан Феррера
Аннотация: В этой заметке мы определяем функцию C1 F:[0,M]2→[0,2], которая удовлетворяет тому, что ее набор критических значений имеет положительную меру. Эта функция дает пример, более простой, чем те, которые обычно появляются в литературе, того, как нельзя улучшить порядок дифференцируемости, требуемый в теореме Сарда.
2.Топологически нетривиальные контрпримеры к теореме Сарда(arXiv)
Автор:Павел Гольдштейн, Пётр Хайлаш, Пекка Панкка
Аннотация:мы доказываем следующую дихотомию: если n=2,3 и f∈C1(Sn+1,Sn) не гомотопно константному отображению, то существует открытое множество Ω⊂Sn+ 1 такое, что rankdf=n на Ω и f(Ω) плотно в Sn, а для любого n≥4 существует отображение f∈C1(Sn+1,Sn), не гомотопное постоянному отображению и такое, что rankdf‹n везде. Результат в случае n≥4 отвечает на вопрос Ларри Гута.
3.Теорема Сарда для теории графов(arXiv)
Автор:Оливер Книлл
Аннотация: Геометрическое место нулевой точки функции f на графе G определяется как граф с множеством вершин, состоящим из всех полных подграфов G, на которых f меняет знак и где x, y связаны, если один содержится в другом. Для d-графов, конечных простых графов, для которых каждая единичная сфера является d-сферой, нулевое геометрическое место (f-c) является (d-1)-графом для всех c, отличных от диапазона f. Если эту лемму Сарда применить индуктивно к упорядоченному списку функций f_1,…,f_k, в котором функции расширены на поверхностях уровня, множество критических значений (c_1,…,c_k), для которых F-c=0, не является (d-k )-граф является конечным множеством. Этот дискретный результат Сарда позволяет строить явные графы, триангулирующие заданное алгебраическое множество. Мы также рассмотрим вторую установку: для функции F из множества вершин в R^k мы даем условия, при которых одновременное дискретное алгебраическое множество { F=c } определяется как множество симплексов размерности в {k, k+ 1,…,n}, на котором все f_i меняют знак, является (d-k)-графом в барицентрическом уточнении G. Это условие максимального ранга адаптировано из континуума, а граф {F=c} является (n-k)- график. Хотя теперь критические значения могут иметь положительную меру, мы ближе к исчислению: например, при k=2 экстремумы функций f при ограничении {g=c} происходят в точках, где градиенты f и g параллельны D f = L D g, уравнения Лагранжа на дискретной сети. Что касается приложения, мы иллюстрируем собственные функции геометрических графов и особенно второй собственный вектор 3-сфер, который по Куранту-Фидлеру имеет ровно две узловые области. Разделяющая узловая поверхность второй собственной функции f_2, принадлежащая наименьшему ненулевому собственному значению, всегда оказывается 2-сферой в экспериментах, если G является 3-сферой
