- Аппроксимации глубокого обучения для нелокальных нелинейных УЧП с граничными условиями Неймана(arXiv)
Автор: Виктор Буссанж, Себастьян Беккер, Арнульф Йенцен, Бенно Кукук, Лоик Пеллиссье
Аннотация: нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных (УЧП) используются для моделирования динамических процессов в большом количестве научных областей, от финансов до биологии. Во многих приложениях стандартных локальных моделей недостаточно для точного учета некоторых нелокальных явлений, таких как, например, взаимодействия на расстоянии. Чтобы правильно отразить эти явления, в литературе часто используются нелокальные нелинейные модели УЧП. В этой статье мы предлагаем два численных метода, основанных на машинном обучении и итерациях Пикара, соответственно, для приближенного решения нелокальных нелинейных уравнений в частных производных. Предлагаемый метод на основе машинного обучения является расширенным вариантом метода аппроксимации типа разделения на основе глубокого обучения, ранее представленного в литературе, и использует нейронные сети для получения приближенных решений в подмножестве пространственной области решения. Метод, основанный на итерациях Пикара, представляет собой расширенный вариант так называемой полноисторической рекурсивной многоуровневой аппроксимационной схемы Пикара, ранее представленной в литературе, и обеспечивает приближенное решение для одной точки области. Оба метода не имеют сетки и позволяют решать нелокальные нелинейные уравнения в частных производных с граничными условиями Неймана в больших размерностях. В этих двух методах численные трудности, возникающие из-за размерности УЧП, избегаются за счет (i) использования соответствия между ожидаемой траекторией отраженных случайных процессов и решения УЧП (задаваемого формулой Фейнмана-Каца) и ( ii) использование простой ванильной интеграции Монте-Карло для обработки нелокального термина. Мы оцениваем эффективность двух методов на пяти различных УЧП, возникающих в физике и биологии. Во всех случаях методы дают хорошие результаты в 10 измерениях за короткое время. Наша работа расширяет недавно разработанные методы преодоления проклятия размерности при решении УЧП.
2. Проблема сходимости в играх среднего поля с граничными условиями Неймана(arXiv)
Автор:Микеле Риккарди
Аннотация: в этой статье мы изучаем сходимость равновесий Нэша в дифференциальной игре N игроков к оптимальным стратегиям в играх среднего поля, когда динамика общего игрока включает процесс отражения, который гарантирует инвариантность пространства состояний. Корректность основного уравнения позволяет нам использовать его решение U для построения конечномерных проекций, которые будут сходиться в некоторых подходящих пространствах к решению системы Нэша
3.Количественное однозначное продолжение для параболических уравнений с граничными условиями Неймана(arXiv)
Автор:Юэлян Дуань, Лицзюань Ван, Цань Чжан
Аннотация: В этой статье мы устанавливаем глобальную количественную оценку однозначного продолжения в один момент времени для решений параболических уравнений с граничными условиями Неймана в ограниченных областях. Наше доказательство в основном основано на оценках коммутатора Карлемана и аргументе глобальной функции частоты, который основан на недавней работе [5]. В качестве приложения мы получаем неравенство наблюдаемости из измеримых множеств во времени для всех решений приведенных выше уравнений.
