Бета-распределение — это непрерывное распределение вероятностей, которое определяется двумя параметрами формы: альфа (α) и бета (β). Он часто используется для моделирования данных, ограниченных диапазоном, таких как пропорции, вероятности и коэффициенты. В этой статье мы дадим интуитивное представление о бета-распределении, приведем несколько примеров его использования и выведем его функцию плотности вероятности (PDF) и кумулятивную функцию распределения (CDF).
Интуиция
Бета-распределение можно рассматривать как распределение вероятностей. Он определен на интервале [0,1], что делает его полезным для моделирования данных, ограниченных этим диапазоном, таких как пропорции и вероятности. Форма бета-распределения определяется значениями альфа и бета, которые контролируют форму левого и правого хвостов распределения соответственно.
Если альфа и бета равны 1, бета-распределение становится однородным с равной вероятностью во всем диапазоне [0,1]. Если альфа намного больше, чем бета, распределение становится скошенным влево, при этом большая часть вероятности сосредоточена в левом хвосте. Если бета намного больше, чем альфа, распределение становится скошенным вправо, при этом большая часть вероятности сосредоточена в правом хвосте.
Примеры
Бета-версия имеет широкий спектр приложений, в том числе:
- Моделирование вероятности успеха испытания Бернулли, такой как вероятность выпадения орла при подбрасывании монеты или вероятность того, что покупатель совершит покупку.
- Моделирование доли населения, имеющей определенную характеристику, например долю населения, инфицированного заболеванием.
- Моделирование вероятности того, что событие произойдет в течение определенного периода времени, например, вероятность того, что машина выйдет из строя в течение определенного количества часов.
Вывод
PDF бета-дистрибутива:
f(x) = (x^(α-1) * (1-x)^(β-1)) / B(α,β)
Где x — непрерывная переменная в диапазоне [0,1], B(α,β) — бета-функция, а альфа и бета — параметры формы.
CDF бета-распределения определяется по формуле:
F(x) = ∫ f(t) dt
Где интеграл берется от 0 до х.
Заключение
Бета-распределение — это универсальное распределение вероятностей, которое часто используется для моделирования непрерывных данных, ограниченных диапазоном. Понимая его интуицию, примеры и вывод, специалисты по данным могут использовать бета-распределение для прогнозирования и принятия решений в самых разных областях.