Бета-распределение — это непрерывное распределение вероятностей, которое определяется двумя параметрами формы: альфа (α) и бета (β). Он часто используется для моделирования данных, ограниченных диапазоном, таких как пропорции, вероятности и коэффициенты. В этой статье мы дадим интуитивное представление о бета-распределении, приведем несколько примеров его использования и выведем его функцию плотности вероятности (PDF) и кумулятивную функцию распределения (CDF).

Интуиция

Бета-распределение можно рассматривать как распределение вероятностей. Он определен на интервале [0,1], что делает его полезным для моделирования данных, ограниченных этим диапазоном, таких как пропорции и вероятности. Форма бета-распределения определяется значениями альфа и бета, которые контролируют форму левого и правого хвостов распределения соответственно.

Если альфа и бета равны 1, бета-распределение становится однородным с равной вероятностью во всем диапазоне [0,1]. Если альфа намного больше, чем бета, распределение становится скошенным влево, при этом большая часть вероятности сосредоточена в левом хвосте. Если бета намного больше, чем альфа, распределение становится скошенным вправо, при этом большая часть вероятности сосредоточена в правом хвосте.

Примеры

Бета-версия имеет широкий спектр приложений, в том числе:

  1. Моделирование вероятности успеха испытания Бернулли, такой как вероятность выпадения орла при подбрасывании монеты или вероятность того, что покупатель совершит покупку.
  2. Моделирование доли населения, имеющей определенную характеристику, например долю населения, инфицированного заболеванием.
  3. Моделирование вероятности того, что событие произойдет в течение определенного периода времени, например, вероятность того, что машина выйдет из строя в течение определенного количества часов.

Вывод

PDF бета-дистрибутива:

f(x) = (x^(α-1) * (1-x)^(β-1)) / B(α,β)

Где x — непрерывная переменная в диапазоне [0,1], B(α,β) — бета-функция, а альфа и бета — параметры формы.

CDF бета-распределения определяется по формуле:

F(x) = ∫ f(t) dt

Где интеграл берется от 0 до х.

Заключение

Бета-распределение — это универсальное распределение вероятностей, которое часто используется для моделирования непрерывных данных, ограниченных диапазоном. Понимая его интуицию, примеры и вывод, специалисты по данным могут использовать бета-распределение для прогнозирования и принятия решений в самых разных областях.