- Неравенства бокса в банаховых пространствах (arXiv)
Автор : Сергей Аввакумов, Александр Набутовский.
Аннотация: Мы доказываем следующий результат: для каждого замкнутого n-мерного многообразия M в (конечном или бесконечномерном) банаховом пространстве B и каждого положительного вещественного m≤n существует псевдомногообразие Wn+1⊂B такое, что ∂Wn+ 1=Mn и HCm(Wn+1)≤c(m)HCm(Mn). Здесь HCm(X) обозначает m-мерное хаусдорфово содержимое, т. е. инфимум Σirmi, где инфимум берется по всем покрытиям X конечным набором открытых метрических шаров, а ri обозначают радиусы этих шаров. В классическом случае, когда B=Rn+1, из этого результата следует, что если Ω⊂Rn+1 — ограниченная область, то для всех m∈(0,n] HCm(Ω)≤c(m)HCm(∂Ω ). Это неравенство кажется новым, несмотря на то, что оно хорошо известно и широко используется в случае, когда m = n (неравенство упаковки Гастина, [G]). Результат является следствием следующей более общей теоремы: для каждого компактного подмножества X в банаховом пространстве B и положительное вещественное число m такие, что HCm(X)≠0, существуют конечный (⌈m⌉−1)-мерный симплициальный комплекс K⊂B, непрерывное отображение φ:X⟶K и гомотопическое H:X×[0,1]⟶B между включением X и φ (рассматриваемого как отображение в B) таким образом, что: (1) Для каждого x∈X ∥x−φ(x)∥B≤c1(m )HC1mm(X); (2) HCm(H(X×[0,1]))≤c2(m)HCm(X). Эта теорема усиливает основной результат [LLNR]
2.Теорема Хопфа о бифуркациях в банаховых пространствах (arXiv)
Автор: Тадаши Каванаго
Аннотация: Мы доказываем теорему Хопфа о бифуркациях в общих банаховых пространствах, которая улучшает классический результат Крэндалла и Рабиновича. На самом деле наша теорема не нуждается в каких-либо условиях компактности, что приводит к более широким приложениям. В частности, наша теорема может быть применена к полулинейным и квазилинейным уравнениям в частных производных в неограниченных областях
