- Вопросы о динамике на естественном семействе аффинных кубических поверхностей (arXiv)
Автор : Хулио Ребело, Роланд Рёдер
Аннотация: Ставится ряд вопросов о динамике группы голоморфных автоморфизмов аффинных кубических поверхностей.
SA,B,C,D={(x,y,z)εC3:x2+y2+z2+xyz=Ax+By+Cz+D},
где A, B, C и D — комплексные параметры. Это групповое действие описывает монодромию знаменитого уравнения Пенлеве 6, а также естественную динамику группы классов отображений на многообразиях характеров SL(2,C), связанных с однажды проколотым тором и четырьмя проколотыми сферами. Представленные здесь вопросы возникли при подготовке нашей работы ``Динамика групп автоморфизмов многообразий характеров и разложение Фату/Жюлиа для Пенлеве~6'' \cite{RR} и во время неформальных дискуссий со многими людьми. Некоторые из вопросов были заданы на симпозиуме Саймонса по алгебраической, комплексной и арифметической динамике, который проходил в замке Эльмау, Германия, в августе 2022 года, а также на летней школе МИНТ «Грани сложной динамики», проходившей в Тулузе. Франция, июнь 2023 года.
2. Элекеш-Сабо о коллинеарности на кубических поверхностях (arXiv)
Автор: Мартин Бэйс, Ян Добровольский, Тинсян Цзоу.
Аннотация: : Изучается задача о фруктовом саду на кубических поверхностях. Мы классифицируем возможно приводимые кубические поверхности $X\subseteq ¶³(\C)$ с гладкими компонентами, на которых существуют семейства конечных множеств (неограниченного размера) с квадратичным числом 3-богатых линий, которые не концентрируются (в естественном смысле) в любой проективной плоскости. А именно, мы доказываем, что такое семейство существует именно тогда, когда X представляет собой объединение трех плоскостей, имеющих общую линию. Попутно мы получаем общий результат о нильпотентности групп, допускающих алгебраическое действие, удовлетворяющее условию Элекеша-Сабо, и доказываем следующее чисто алгеброгеометрическое утверждение: если композиция четырех инволюций Гейзера через достаточно общие точки a,b,c, d на гладкой неприводимой кубической поверхности имеет бесконечное число неподвижных точек, то одна плоскость содержит a, b, c, d и все неподвижные точки, кроме конечного числа.
