Ежедневно мы принимаем/адаптируем наши решения и поведение на основе информации, которую мы получаем. Например, вы предпочитаете ехать в продуктовый магазин другой дорогой, учитываявремя суток из-за пробок.
В первом разделе мы попытаемся использовать нашу логику, чтобы вывести вероятности определенного события, а затем воспользуемся теоремой Байеса, чтобы получить тот же результат, который подсказывает наша интуиция.
Кто украл драгоценность?
Полиция расследует преступление, связанное с кражей драгоценностей. Они делают вывод, что только четыре человека имели возможность украсть драгоценность. Среди четырех подозреваемых двое мужчин и двое женщин. Давайте дадим им имена: «Лилли», «Робин», «Тед» и «Маршалл».
При наличии этой информации вероятность того, что один из подозреваемых является вором, составляет 1/4.
На следующий день вы получаете новую информацию, что вор точно мужчина! Оттуда мы устраняем подозреваемых женщин, мы остаемся с Тедом и Маршаллом. Поскольку сейчас у нас есть только два исхода, вероятность для каждого подозреваемого мужчины составляет 1/2.
Видишь, что там произошло? Мы получили новую информацию, с учетом этой новой информации мы обновили наше пространство вероятностей (возможные результаты), которое автоматически обновило наши вероятности!
Для Робина и Лили: их вероятность уменьшилась с 1/4 до 0, а для Теда и Маршалла с 1/4 до 1/2.
Использование теоремы Байеса
Начнем с формулировки теоремы:
Для нашей задачи X представляет «Вора», а Y представляет «Пол».
X имеет четыре возможных исхода: {Лили, Робин, Тед, Маршалл}
Y имеет только два возможных исхода: {Мужской, Женский}
В начале расследования вероятность того, что каждый человек окажется вором, равна 1/4, поскольку у нас есть четыре исхода, и они одинаковы.
Теперь давайте предположим, что мы только что получили новую информацию о том, что вором является мужчина, и давайте попробуем обновить вероятности, используя теорему Байеса! (здесь вы видите цель теоремы Байеса: мы используем ее, когда нам нужно обновить вероятности определенного события с учетом новой информации)
Давайте оценим вероятность того, что вором является Тед, например, при условии, что вором является мужчина.
Сосредоточьтесь на знаменателе: по сути, мы оцениваем все возможные результаты с учетом новой информации. ( глядя на два кружка на картинке выше, мы можем догадаться, что знаменатель должен быть равен 1/2)
Важно понимать, что даже если бы у нас не было новой информации, мы могли бы также использовать теорему Байеса, но это будет бесполезно, потому что в знаменателе у нас будет Y может быть женский или мужской а вероятность того, что это произойдет, составляет 100%, и делить на 1 бесполезно.
Оценить числитель просто, обратите внимание, что числитель уже находится в знаменателе, поскольку знаменатель содержит все возможные результаты, числитель является одним из них!
Отлично, мы получили ту же вероятность, что и предполагали в начале, используя нашу интуицию.