Маятники, как мы видим в учебниках (гиря, подвешенная на веревке / стержне), не используются во многих местах, за исключением часов «Дедушка». Но многие реально существующие устройства и устройства черпали вдохновение из маятника. Перевернутый маятник представляет собой множество систем, таких как сегвей, запуск ракет, приземление ретро-ракеты-носителя, здания и положение человека. Все, что требует вертикальной стабилизации, имеет динамику, подобную перевернутому маятнику. Следовательно, моделирование и управление перевернутым маятником осуществляется во многих областях техники.
Деятельность
Все пытались удерживать высокие предметы на руках. Вы знаете, как это сложно и увлекательно. Давайте попробуем разобраться в этом еще раз. По первым двум рисункам ниже попытайтесь угадать, какую палку легче балансировать.
- Шарик сверху или снизу; или
- Более высокая или более короткая палка
Вы можете использовать то, что есть в вашем распоряжении, чтобы попробовать это самостоятельно.
Здравый смысл подсказывает нам, что небольшие предметы, легкие и тяжелые, будет легче балансировать. Например, ручку легче сбалансировать, чем бейсбольную биту. Правильно?
Если вы пробовали это сделать, вы, должно быть, удивитесь, увидев это:
- Более мелкие предметы и предметы с тяжелым дном трудно сбалансировать. Ручку балансировать сложнее, чем бейсбольную биту. Здесь будет легче балансировать клюшку с мячом наверху.
- Чем выше клюшка, тем легче балансировать
- Если кончик наклоняется вперед, как показано на третьем изображении, вам нужно рывком переместить палец вперед, чтобы вернуть кончик назад. То есть вы двигаетесь в сторону наклона
Так что же происходит?
Вопрос в том, почему он ведет себя нелогично образом? Чтобы ответить на этот вопрос, нам нужно кое-что знать о вращательной инерции. Инерция - это неотъемлемое свойство любого объекта сопротивляться любому изменению движения. Например, большой камень толкнуть сложнее, чем гальку. Рок имеет большую инерцию. В аналогичных строках инерция вращения означает сопротивление любому изменению вращения. Чтобы что-то повернуть, мы прикладываем некоторую силу на определенном расстоянии от оси вращения. Сила, приложенная на расстоянии, называется крутящим моментом. Таким образом, объекту с более высокой инерцией вращения потребуется более высокий крутящий момент для вращения. Точно так же, как инерция измеряется массой объекта, инерция вращения измеряется моментом инерции (I). Момент инерции зависит от массы и ее распределения. Чем дальше масса распределяется от оси вращения, тем выше Момент инерции. Следовательно, стержень с шариком на конце будет иметь более высокий момент инерции, чем стержень без шарика при вращении с другого конца.
Подводя итог, более длинный стик = дальше находится центр масс = большая инерция вращения. Представьте, что вы идете по балансирующей балке. Вы вытягиваете руки. Это дает вам большую инерцию вращения, а это означает, что вам сложнее повернуться или «упасть» в любую сторону.
Третий вопрос: почему мы должны двигать ручку в направлении наклона? Что ж, чтобы уравновесить шест на ладони, мы пытаемся удерживать его центр масс (СОМ) прямо над основанием. Пока COM остается прямо над основанием, джойстик остается сбалансированным. Но из-за помех он имеет тенденцию падать, и COM уходит от вертикали. Если ручка наклоняется вперед, COM также смещается вперед. Чтобы отменить это, мы сдвигаем базу вперед, чтобы выровнять базу с новым COM. Следовательно, мы перемещаем палку в направлении наклона. Этот тип системы называется системой неминимальных фаз в науках об управлении. Помимо перевернутого маятника, высотного маневра самолета, параллельной стоянки также неминимальная фазовая система.
С длинным шестом у нас есть достаточно времени, чтобы переместить руку, чтобы подвести ее основание прямо под ее центр масс, таким образом восстанавливая равновесие. Но с короткой палкой у нас почти не остается времени, чтобы пошевелить ладонью, чтобы восстановить баланс, и палка падает.
Вы также можете подумать об этом в перевернутом виде. Тяжелый предмет, подвешенный на длинном куске веревки, намного труднее привести в движение, чем легкий предмет, подвешенный на небольшом куске веревки.
Симуляторы
Я написал код для моделирования в Matlab. Чтобы просмотреть все коды MATLAB, относящиеся к этой серии, перейдите по этой ссылке GitHub.
На видео выше показано, как перевернутый маятник ведет себя без какой-либо силы, чтобы им управлять. Обратите внимание на движение тележки относительно маятника, как он движется в противоположном направлении.
На видео ниже показано, как перевернутый маятник уравновешивается путем приложения управляющей силы (синяя линия).
Следующие два видеоролика покажут вам, как увеличение инерции вращения помогает легче управлять маятником. Инерцию вращения (M * L * L) можно увеличить, увеличив либо массу, либо длину маятника, либо и то, и другое.
Наблюдения
Мы видим, что при увеличении инерции вращения маятник становится медленнее, то есть он не так легко вращается. Хотя это требует большего крутящего момента, но также увеличивает время реакции. В результате время реакции ваших зрительных мышц и мышц становится относительно более быстрым, а ваша относительно более быстрая реакция помогает вам поддерживать равновесие.
