ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ДЛЯ НАУКИ О ДАННЫХ И МАШИННОГО ОБУЧЕНИЯ
Линейные пространства, основа вычисления матриц
Основа для ускорения обучения моделей больших данных
Выходят последние посты по глубокой математике, они немного странные и трудные для чтения, но нам нужно знать основные правила линейных систем, чтобы иметь возможность правильно их использовать, поэтому в этом посте мы объясним некоторые основные свойства линейных пространств. .
Базовые компоненты и размеры
По определению, система линейно независимых векторов в линейном пространстве Kнад полем K называется базисом для K,если для любого x ϵKсуществует однозначно определенное расширение:
Например, единичная матрица, созданная n ортогональными векторами, является основой для пространства Kn.
Когда мы можем найти основу для нашего линейного пространства, все изначально абстрактные операции становятся линейными операциями, что упрощает их решение.
Если в линейном пространстве K мы можем найти n линейно независимых векторов и не найти n+1 линейно независимых векторов . Тогда n называется размерностью пространства K, которое называется размерным, а n векторов являются базис пространства K.
Подпространства
Предположим, что набор L элементов линейного пространства Kобладает следующими свойствами:
- Если x ϵ L, y ϵ L, то x + y >ϵ L.
- Если x ϵ L и λ — элемент поля K, то λx ϵ L.
Тогда L — это множество элементов с заданными на нем линейными операциями, это множество также является линейным пространством и каждое L ϵ K называется линейное подпространство K.
Если базис выбран в подпространстве L, то мы всегда можем добавить дополнительные векторы, так как система становится базисом для всех K.
Факторные пространства
Для заданного подпространства L линейного пространства K говорят, что элемент x ϵ K сравним с элемент y ϵ K. Это отношение симметрично.
Набор всех элементов y ϵ K, сравнимых с другим элементом, называется классом и обозначается X.
Все пространство K можно разбить на непересекающиеся классы, это множество непересекающихся классов обозначается какK/L. Полученное линейное пространство называется фактор-пространством пространства K по подпространству L.
Линейные коллекторы
Одним из наиболее важных способов построения подпространств является формирование многообразий, натянутых на заданные системы векторов. Пусть x,y,z — система векторов линейного пространстваK, линейные многообразия, натянутые на x,y,z – это набор всех линейных комбинаций, таких как
с коэффициентами в поле K. Следовательно, это линейное многообразие является подпространством линейного пространства Kи наименьшим из них, содержащим эти 3 вектора, оно обозначается L(x, г, г).
Некоторые свойства линейных многообразий:
- Если векторы x', y' принадлежат линейному многообразию, натянутому на векторы x,y, то линейное многообразие L(x,y) содержит все линейное многообразие L(x',y').
- Каждый вектор системы линейно зависит от других и может быть исключен из системы без изменения натянутого линейного многообразия.
Гиперпланы
Пусть L — подпространство линейного пространства K и x0 ϵ K — вектор, не принадлежащий L. Рассмотрим множество H всех векторов вида:
где вектор y охватывает все подпространство L. Тогда H является гиперплоскостью, результатом смещения подпространства L на вектор x0. В общем, гиперплоскость не обязательно должна быть линейным пространством.
Морфизмы линейных пространств
Пусть wбудет правилом, которое присваивает каждому заданному вектору x'линейное пространство K' вектор x'' в линейном пространстве K''. Тогда w называется морфизмом, если выполняются следующие условия:
- w(x'+y') = w(x') + w(y') для каждого x', y' ϵ K'.
- w(ax') = aw(x') для каждого x' ϵ K' и каждый a ϵ K.
В зависимости от того, как морфизм отображает пространство, мы можем классифицировать его по следующим категориям:
- Эпиморфизм: морфизм, отображающий пространство K’ на все пространство K’’.
- Мономорфизм: морфизм, отображающий элементы пространства K' на часть K'' в один к одному элементу, поэтому два элемента K'' не могут быть сопоставлены с одним и тем же элементом K''.
- Изоморфизм: это мономорфизм и эпиморфизм одновременно, в данном случае пространства K' и K'' называются изоморфными.
Диапазон морфизма — это набор L'' всех векторов w(x') ϵ K''такие, что x' ϵ K'.
Для заданного морфизма ω: K′→K′′ рассмотрим множество L' всех векторов x' ϵ K' такой, что ω'(x')=0. Множество L’ называется нулевым пространством или ядром морфизма ω.
Резюме
Этот пост был настолько теоретическим и насыщенным, но нам нужно понять основные операции, которые сохраняют свойства нашего пространства для работы с векторными пространствами и матрицами, следующий пост станет более практичным.
Это реальная основа методов линейной алгебры, используемых в науке о данных, кроме того, мы создадим методы, которые используют все модели глубокого обучения.
Это восемнадцатый пост моего особого #100daysofML, я буду публиковать достижения этого челленджа на GitHub, Twitter и Medium (Adrià Serra).
