Как наука о данных помогла мне развить математический подход!
Многим математика внушает страх, ненависть, скуку или, по крайней мере, определенный уровень апатии. Это тема, которую часто трудно понять. Можно легко найти связь с поэзией, литературой, музыкой, юриспруденцией или историей. Но математика по большей части считается загадочной и лишенной души. Фотография выше передает это чувство: «Искусство важнее математики». Но я склонен не соглашаться, потому что считаю, что математика - это еще и искусство.
Эта статья - попытка взглянуть на математику с новой точки зрения.
Начнем с самых основ.
Что такое математика?
Кто-то скажет, что математика - это изучение чисел. Другие могут описать это как набор методов / функций / уравнений для подсчета и измерения. Математика преподается как предмет, в котором вы должны находить решения проблем. Вам предлагается решить алгебраические уравнения и вычислить значение x. Вы научитесь иметь дело с дифференцированием, интегрированием, пределами, вероятностью, тригонометрическими функциями, векторным исчислением и этот список можно продолжить. Мы можем научиться это делать, и многие из нас даже получат хорошие оценки на экзаменах. Однако есть много людей, которые отстраняются от всего этого упражнения. Какой в этом смысл? Что все это на самом деле означает? Что представляет собой математическое уравнение или математическая формула?
Это важные вопросы. Чтобы ответить, мы должны пойти немного глубже. Давайте закроем глаза и подумаем о «обучении» в целом.
Обучение происходит, когда вы наблюдаете за явлением и распознаете закономерность. Вы пытаетесь понять эту закономерность, выясняя, есть ли какие-либо отношения между сущностями, вовлеченными в этот феномен.
Найдите минутку. Вы поймете, что любое понимание или знание чего-либо - не что иное, как идентификация и объяснение закономерностей. Подумайте о сельском хозяйстве, смене времен года, движении планет, эволюции жизни, химических реакциях, анализе фондового рынка, психологических исследованиях, клинических испытаниях, разработке лекарств ... почти каждое стремление к знанию включает в себя определение какой-то закономерности. (Проверьте эту статью)
Если вы согласны …… .. читайте дальше.
Как только образец был распознан, его нужно выразить. Люди используют «языки», «символы» и «рисунки» для выражения, описания и передачи идей и понимания.
Например, если нам нужно описать идею демократии, мы можем использовать английский язык для ее объяснения. В Википедии можно найти следующее описание:
Демократия (греч.: δημοκρατία, dēmokratiā, от dēmos народ и kratos правило) - форма правительства, при которой народ имеет власть выбирать свое регулирующее законодательство.
Если вам нужно описать, как добраться из одного города в другой, вы можете нарисовать карту, чтобы обозначить это. Использование только текста будет менее подходящим для выражения этой идеи.
Итак, в природе существует множество шаблонов или идей, которые являются абстрактными. Например, предположим, что у вас есть 2 апельсина в одной корзине и 3 банана в другой корзине. Какое у вас общее количество фруктов? Вы можете добавить 2 к 3 и получить 5 или вы можете добавить 3 к 2 и получить 5. Порядок не имеет значения. На самом деле это коммутативный закон сложения, который на английском языке может быть выражен как:
Когда складываются два числа, порядок чисел не играет никакой роли.
Однако более эффективный способ выразить эту идею:
P + Q = Q + P
А вот и главная идея математики
Математика - один из ЯЗЫКОВ для выражения «паттернов».
Для каких паттернов следует использовать математику?
Паттерны, которые являются более формальными или абстрактными, могут быть эффективно выражены на языке математики.
Например, если человек ведет машину с некоторой постоянной скоростью, существует ли взаимосвязь или закономерность между пройденным расстоянием, его скоростью и общим временем вождения.
Да, есть шаблон, который можно выразить на английском языке следующим образом:
«Расстояние, которое преодолевает водитель, всегда равно его скорости, умноженной на продолжительность его поездки».
Это объяснение правильное, но будет более полезным, если мы выразим его в терминах математических символов и операций следующим образом:
Расстояние = Скорость * Время
D = S ✕ T
Математически мы можем сказать, что существует линейная зависимость между расстоянием и временем, если скорость постоянна. Сравните это с уравнением линии, которому учили в школе.
В нашем примере прямая проходит через начало координат, следовательно, b = 0. В момент времени 0 расстояние не покрывается. А скорость - это «наклон», т. Е. М нашей линии)
Итак, почему математическое выражение более полезно? Это потому, что он отражает «обобщенную» идею феномена. Любые явления в природе, где сущности имеют линейные отношения, могут быть выражены в форме линии, и мы можем предсказать значения в будущем, пересекая эту линию.
[Это и есть линейная регрессия на очень высоком уровне]
Новая перспектива
Перестаньте думать о математике как о предмете для решения проблемы.
Начните думать о нем как о языке - языке для выражения закономерностей в природе.
«Математика - это язык, на котором Бог написал вселенную» - Галилео Галилей
Различные типы шаблонов приводят к разным разделам математики:
- Образцы формы: геометрия
- Модели движения и изменения: исчисление
- Паттерны позиции: топология
- Модели случайности: вероятность
- Образцы рассуждений: логика
Как только вы начнете думать о математике как о языке шаблонов, вы можете начать смотреть на уравнения с другой точки зрения. Думайте об уравнении как о выражении этого паттерна. Попробуйте представить себе образец, который пытается выразить уравнение. Думайте об этом как о сюжете, в котором между персонажами есть отношения.
Давайте поговорим о фундаментальной форме: круг
Математическое уравнение для круга с центром в начале координат (0,0):
Теперь подумайте о закономерности, которую выражает это уравнение.
«Все точки круга находятся на одинаковом расстоянии от центра».
Собственно, этот узор и делает его кругом. Форма, каждая точка которой находится на одинаковом расстоянии от фиксированной точки, представляет собой круг. Это не может быть прямоугольник, треугольник или любая другая форма. Только круг следует этому образцу. Это знание или обучение, которое пытается сказать приведенное выше уравнение! Есть ли другой способ выразить эту закономерность?
Разделите окружность на диаметр любого круга в мире! Вы всегда будете получать постоянное число «𝜋» (примерно 3,14159).
Это еще один способ описать узор за кругом. Где бы ни был кружок в математической формуле, там будет 𝜋.
Площадь круга, объем сферы, объем цилиндра:
Вы, конечно, можете получить доказательства этих формул, но основная идея, которую я пытаюсь передать, заключается в том, что за ними стоит общий шаблон - «круглая» форма - и, следовательно, 𝜋
Давайте сделаем еще один шаг вперед. Раньше я называл круг (или сферу) основной формой. Если вы думаете, это форма, наиболее часто встречающаяся в природе (возможно, не идеальный круг или сфера, но все же достаточно близкая), например, формы планет и других небесных тел, пузыри, капли дождя, атомы, вращения и вращения планет, формы галактик и т. д.
Есть ли в природе фундаментальный образец? Я предполагаю, что есть. И этот фундаментальный паттерн - «ПОВТОРЕНИЕ». Есть много повторяющихся природных явлений. например, вращение Земли (планет) вокруг своей оси, вращение планет вокруг звезды, вращение целых галактик, движение электронов вокруг ядра, смена времен года, подъем и спад волн, биохимические циклы, такие как фотосинтез и так далее. (Люди говорят, что история тоже повторяется. 😎)
Вы видите связь?
Идея здесь в том, что любое явление, которое следует повторяющемуся шаблону, можно представить себе как круг или его часть. Следовательно, где-то в математической форме 𝜋 найдет место.
Итак, теперь, когда вы видите математическую формулу или уравнение со знаком 𝜋, подумайте о круге, а затем подумайте, есть ли какое-либо повторение в явлениях, которые это уравнение пытается выразить. Вы увидите соединение.
Некоторые примеры:
Период времени простого маятника:
Есть «повторное» движение!
Третий закон движения планет Кеплера:
который фиксирует взаимосвязь между расстоянием планет от Солнца и их орбитальными периодами. (Орбиты «слабо» круговые. Планеты вращаются вокруг Солнца «многократно»)
Закон электрической силы Кулона:
Электрическое поле вокруг заряда следует по круговой траектории.
…… .и вы можете найти гораздо больше. Конечно, настоящая математика и физика, лежащие в основе всех этих процессов, более сложны, чем то, что определено здесь. Но я предлагаю взглянуть на эти уравнения или формулы с другой точки зрения. Везде, где есть 𝜋, будет присутствие круга (повторение)
Так же, как 𝜋 для циклических шаблонов, в природе есть и другие шаблоны, которые можно обобщить. Например, любое явление, которое включает экспоненциальный рост или спад, почти всегда можно выразить с помощью «е». Подумайте о радиоактивном распаде или росте населения, увеличении числа инфекций COVID-19 или сложных процентах вашего банка. (Я оставлю здесь, чтобы вы, дорогой читатель, поразмышляли над такими узорами)
Как это связано с машинным обучением и наукой о данных?
Наука о данных и машинное обучение - это области, которые используются для имитации человеческого обучения. Цель состоит в том, чтобы автоматически находить «закономерности» в данных и устанавливать связь между выходной и входной переменными. Как лучше всего выразить эти отношения? Как утверждалось ранее, математика - лучший язык для выражения таких формальных отношений.
Алгоритмы машинного обучения, такие как линейная / логистическая регрессия или нейронные сети, используют линейную алгебру и теоремы вероятности. Оптимизация затрат моделей машинного обучения использует исчисления. Для встраивания слов и предложений используется векторное исчисление. Итак, в следующий раз, когда вы реализуете какой-либо алгоритм машинного обучения, подумайте, почему используется тот или иной математический подход или функция и какой шаблон вы пытаетесь выяснить?
И, как и в случае со всеми естественными циклами, я буду повторять (предназначено НАКАЗАНИЕ):
Математика - это язык для выражения закономерностей. Математическое уравнение или формула - это просто модель или объяснение этого паттерна.
