Давайте немного поговорим об измерении и изменении.
Эта статья является частью моей серии статей Основы пониманиячерез математику, в которой я излагаю и представляю обзор некоторых наиболее важных концепций математики [со ссылками на учебные ресурсы], имеющие непосредственное отношение к искусственному интеллекту и компьютерным наукам.
В этой статье нам нужно будет взглянуть на теорию исчисления бесконечно малых — исследование непрерывных изменений.
Исчисление было первым достижением современной математики, и его значение трудно переоценить. Я думаю, что она более чем что-либо другое определяет зарождение современной математики, а система математического анализа, являющаяся ее логическим развитием, до сих пор представляет собой величайшее техническое достижение точного мышления. — Джон фон Нейман.
Обзор
Математическое исчисление — это раздел математики, посвященный понятию пределов, функций, производных, интегралов. , бесконечные последовательности и серии.
Исчисление в основном делится на дифференциальное и интегральное исчисление. Дифференциальное исчисление в основном связано с мгновенными скоростями изменения, в то время как интегральное исчисление касается накопления количеств, которые указывают меру между ограниченным домен. Эти две ветви связаны друг с другом основной теоремой исчисления. Оба используют фундаментальные понятия сходимости бесконечных последовательностей и бесконечных рядов к четко определенному пределу [1].
Исчисление — одна из идей, которую нельзя хорошо понять без геометрии и алгебры.
Примечания к основной теореме исчисления (FTC)
Основная теорема исчисления — это теорема, связывающая понятие дифференцирования функции с понятием интегрирования функции. Теорема состоит из двух частей: первая часть подразумевает существование первообразных (интегралов) для непрерывных функций; вторая часть, которая дает общее представление о численном интегрировании.
Первая часть теоремы утверждает, что одна из первообразных, скажем, F, некоторой функции fможет быть получено как интеграл от fс переменной границей интегрирования. Отсюда следует существование первообразных для непрерывных функций.
Наоборот, вторая часть теоремы утверждает, что интеграл функции fдля некоторого интервала можно вычислить, используя любую, скажем, F, из бесконечного множества его первообразных. Эта часть теоремы имеет ключевые практические применения, потому что явное нахождение первообразной функции путем символьного интегрирования позволяет избежать численного интегрирования для вычисления интегралов. Как правило, это обеспечивает лучшую численную точность.
Зачем изучать исчисление?
Исчисление широко применяется в науке, экономике и технике. Он предлагает альтернативный подход к решению многих задач, для решения которых одной алгебры недостаточно.
Приложения дифференциального исчисления включают вычисления, связанные со скоростью и ускорением, наклоном кривой и оптимизацией. В то время как интегральное исчисление применяется к вычислениям, включающим площадь, объем, длину дуги, центр масс, работу и давление. Следовательно, в физике и технике исчисление обеспечивает математические средства анализа явлений. Не только в области физики и техники, широта предмета также обеспечивает дополнительные приложения в социальных науках, экономике и бизнесе, и это лишь некоторые из них.
Некоторые личные заметки, прежде чем вы начнете
Лично причиной, по которой я начал изучать исчисление, был мой большой интерес начать с машинного обучения. Хотя я не очень хорошо себя чувствовал, когда я впервые познакомился с ним в старшей школе, я потратил месяцы на чтение книг, прохождение онлайн-курсов и выполнение упражнений, которые заложили хорошую основу для понимания проблем оптимизации в экономике и алгоритмов обратного распространения в нейронных сетях. Поначалу это может показаться пугающим, но практика и ваша цель в правильном понимании концепций окупятся.
Тратьте время с умом.
Один из уроков, которые я усвоил, заключался в том, что будет лишь несколько идей, которые принесут вам пользу в долгосрочной перспективе: сэкономьте себе немного времени. Не тратьте свое время на то, чтобы как можно быстрее интегрировать функцию вручную, потому что в реальном мире эти алгоритмические процедуры могут быть автоматизированы, и если все, что вы узнали, это как численно интегрировать функции вручную, то вы не так эффективно, как вам хотелось бы, в подходе к реальным проблемам, которые действительно важны для вас.
Дело в том, что вам нужна всего пара задач разной степени сложности, чтобы хорошо понять концепцию. Проверьте свое понимание, набросав доказательство какой-либо теоремы или решив текстовые задачи, потому что они включают в себя нечто большее, чем выполнение алгоритмической процедуры обработки чисел. Проблемы Word требуют, чтобы вы разобрали проблему, перевели и искали решения. Следуйте Техникам решения проблем Поля и осваивайте их.
Исторические заметки
Идея исчисления, по мнению некоторых математиков и историков, таких как Карл Бойер, возникла для решения одной из самых известных философских проблем, называемых парадоксами Зенона. представляют собой набор философских проблем, предложенных греческим философом Зеноном Элейским, который поддерживает доктрину, противоречащую свидетельствам наших чувств, ошибочную веру во множественность и изменение и, в частности, в то, что движение есть ничто но иллюзия [2].
В гонке самый быстрый бегун никогда не сможет обогнать самого медленного, поскольку преследователь должен сначала достичь точки, откуда стартовал преследуемый, так что более медленный всегда должен удерживать лидерство.
Исчисление бесконечно малых было независимо друг от друга разработано в конце 17 века Исааком Ньютоном и Готфридом Вильгельмом Лейбницем.
Критика первых принципов исчисления
В современной математике основы исчисления формализованы в области реального анализа, который содержит полные определения и доказательства теорем, используемых в исчислении. Основы относятся к строгому развитию предмета из аксиом и определений, которые стремились вывести и логически обосновать предположения.
В раннем исчислении использование бесконечно малых величин считалось нестрогим и подвергалось резкой критике со стороны ряда авторов, в первую очередь Мишеля Ролля и Епископа Беркли.
Разработка строгой основы исчисления занимала математиков на протяжении большей части столетия после Ньютона и Лейбница и до сих пор в некоторой степени активная область исследований. сегодня.
Несколько математиков, в том числе Маклорен, пытались доказать правильность использования бесконечно малых величин, но только 150 лет спустя, когда благодаря работам Коши и Вейерштрасса, наконец, был найден способ избежать простых «понятий» о бесконечно малых величинах [3].
Были заложены основы дифференциального и интегрального исчисления. В Курсе анализа Коши мы находим широкий спектр фундаментальных подходов, включая определение непрерывности в терминах бесконечно малых и ( несколько неточно) прототип (ε, δ)-определения предела в определении дифференцирования.
Вейерштрасс, с другой стороны, формализовал понятие предела и устранил бесконечно малые числа. После работы Вейерштрасса в конечном итоге стало обычным основывать исчисление на пределах, а не на бесконечно малых величинах, хотя этот предмет до сих пор иногда называют «исчислением бесконечно малых». Бернхард Риман использовал эти идеи, чтобы дать точное определение интеграла. Также в этот период идеи исчисления были обобщены на евклидово пространство и комплексную плоскость.
Сегодня поле оборудовано фондами, которые разрабатывались веками. Однако все еще остается вопрос, который еще предстоит решить, чтобы сделать область математического анализа в целом активной исследовательской областью.
Заключительные замечания
Обратите внимание, что используемые здесь термины могут отличаться от более распространенного определения интеграла, поскольку термин более распространенного подхода ограничен только одной переменной, т. е. площадью под кривой. Поэтому важно понимать, что в реальном мире часто не используется ни одна переменная в формах анализа — обобщение исчисления с одной переменной расширяется с помощью серии линейных преобразований (что приносит пользу в другую область математики под названием Линейная алгебра). По сути, формы обобщений концептуально аналогичны теоремам, доказанным в исчислении с одной переменной, хотя важно иметь в виду, что оно касается не только двухмерного измерения.
В вашем учебном путешествии, я желаю вам удачи. Ваше здоровье!
Образовательные ресурсы:
http://www-math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/
http://tutorial.math.lamar.edu/…/CalcI/DerivativeProofs.aspx
https://ocw.mit.edu/…/18-01sc-single-variable-calculus-fal…/
https://ocw.mit.edu/…/18-02-multivariable-c…/video-lectures/
https://ocw.mit.edu/…/res-18-001-calculus-online-…/textbook/
Полезный сайт, чтобы начать с символического языка, используемого в анализе: https://mathvault.ca/hub/higher-math/math-symbols/calculus-analysis-symbols/
Плейлист YouTube и видеолекции
Эти списки воспроизведения развивают вашу интуицию и визуальное понимание основных понятий, представленных в Calculus. Обратите внимание, что более строгое рассмотрение этого предмета — это другая область математики, называемая анализом.
Суть исчисления от 3 Blue 1 Brown: https://www.youtube.com/watch…
Исчисление 1 и 2 от Khan Academy: https://www.youtube.com/watch…
Многомерное исчисление от Khan Academy: https://www.youtube.com/watch…
использованная литература
[1] ДеБаггис, Генри Ф.; Миллер, Кеннет С. (1966). Основы исчисления. Филадельфия: Сондерс. OCLC 527896.
[2] Папа-Гримальди, Альба (1996). «Почему математические решения парадоксов Зенона упускают суть: отношение одного и многих Зенона и запрет Парменида» (PDF) . Обзор метафизики. 50: 299–314.
[3] Рассел, Бертран (1946). История западной философии. Лондон: George Allen & Unwin Ltd., с. 857.
[4] Авторы Википедии. (2019, 14 июля). Исчисление. В Википедии, свободной энциклопедии. Получено 07:54, 26 июля 2019 г., с https://en.wikipedia.org/w/index.php…
[5] Бойер, Карл Б. (1959). История исчисления и его концептуального развития. Нью-Йорк: Довер. ОСЛК 643872
[6] ДеБаггис, Генри Ф.; Миллер, Кеннет С. (1966). Основы исчисления. Филадельфия: Сондерс. ОСЛК 527896
