В прошлый раз мы определили характеристику стационарности и исследовали три важных примера: шум IID, белый шум и случайные блуждания, а также способы создания и проверки их графиков данных и графиков АКФ для определения стационарности. На этот раз мы рассмотрим два примера наиболее важных процессов анализа временных рядов: процесс авторегрессии первого порядка AR(1).
Авторегрессионный процесс первого порядка AR(1)
Давайте посмотрим на определение AR(1):
Тогда процесс AR(1) удовлетворяет
Вы можете думать об этом процессе следующим образом: значение текущего наблюдения имеет некоторую зависимость от текущего шума и некоторой части значения предыдущего временного шага, но не от последующих значений. Изучив среднее значение и дисперсию, мы легко можем увидеть, что
Чего ждать? Это вообще не очевидно! Давайте посмотрим, почему это правда. Если мы возьмем ожидание, мы имеем
Однако для того, чтобы X_t был стационарным, это может быть правдой только в том случае, если среднее значение равно нулю, то есть
Для ACV (автоковариация) рассмотрим отставание h=0 (т.е. дисперсию)
Решая ACV(0), мы имеем это
Если h не равно 0, отсюда следует, что
Обратите внимание, что иногда мы используем «+h», а иногда «-h». Они эквивалентны; позже мы увидим, что функция ACV симметрична, то есть ACV(h)=ACV(-h). Подключая то, что у нас было раньше,
Какая крутая формула! Кроме того, вы можете проверить, используя определение, что автокорреляция задается выражением
Заметил что-то? Если абсолютное значение phi больше 1, корреляция будет только ухудшаться по мере увеличения запаздывания! Наоборот, это говорит нам о том, что если phi меньше 1 по абсолютной величине, автокорреляция будет экспоненциально уменьшаться по мере увеличения отставания.
Как сделать R
Давайте смоделируем некоторые данные AR (1) с phi = 0,7 X:
Сначала мы установили истинный коэффициент AR(1) равным 0,7, а затем сжали его в объект list. Мы устанавливаем ma=NULL, потому что хотим создать процесс AR(1). Затем мы передаем это в функциюarima.sim для создания 600 наблюдений с использованием модели. Теперь мы можем проверить как график данных, так и график ACF следующим образом:
Мы можем видеть, что процесс действительно равен среднему нулю, и что АКФ экспоненциально убывает по h. Хотя кажется, что он немного увеличивается при лагах 10 и 25, в основном он остается в пределах допустимого.
В следующий раз
В следующий раз мы продолжим еще один важный процесс: процесс скользящая средняя MA(1), вместе с его ожиданием, функцией ACV и крутыми R-визуализациями вроде этих :)
