Вывод формулы
Когда вы проводите восходящий анализ бизнеса с клиентами, вам обязательно нужно знать одну метрику - жизненную ценность клиента (LTV), то есть сколько прибыли приносит клиент за весь период экономических отношений.
LTV - очень популярная тема для деловых обсуждений, и вы найдете множество различных формул для ее расчета, если погуглите, но я углублюсь в простой математический аспект этой концепции, которая не так широко представлена в Интернете.
Рассмотрим услугу на основе подписки (например, Netflix), когда клиент платит в конце каждого периода, и мы получаем прибыль в размере млн долларов от этого. Клиент может отменить подписку в любой заданный период T с вероятностью c.
В этой настройке время отмены дискретной случайной величины T имеет геометрическое распределение с вероятностью отмены в каждом периоде c. Общая прибыль (T), следовательно, является функцией случайной величины, которая в данном случае представляет собой просто сумму всей прибыли за T периодов. Тогда LTV - это ожидаемое значение общей прибыли (T):
Последняя сумма была сброшена из-за трюка с производной:
Когда клиент платит в начале каждого периода, нам просто нужно добавить соответствующую прибыль в формулу LTV:
Мы нашли формулы для LTV, отлично! Но какие предположения мы сделали?
- Регулярная прибыль $ M от клиента постоянна и не зависит от времени использования услуги. Никаких перекрестных продаж, дополнительных продаж. Отсутствие экономии на масштабе. Нет снижения затрат на поддержку.
- Стоимость денег сегодня такая же, как стоимость денег завтра. Отсутствие дисконтирования денежных потоков $ M.
- Клиент с одинаковой вероятностью уйдет в любое время - вероятность отмены сегодня не зависит от вероятности отмены днем ранее. Никакого учета прилипания к продукту, которое на самом деле растет со временем. Это предположение унаследовано от геометрического распределения периода отмены T.
- Вероятность отмены c постоянна, т.е. одинакова для каждого периода. Это также унаследовано от природы геометрического распределения T.
- Заказчик может быть подписан бесконечно долго.
Общий случай LTV
В приведенной выше настройке мы сделали много предположений. Теперь давайте посмотрим на LTV без предположений.
В этой общей настройке, где период отмены / оттока T является дискретной случайной величиной, LTV - это ожидаемая приведенная стоимость будущей чистой прибыли.
Последняя двойная сумма выглядит устрашающе. Можем ли мы просто здесь вещи? Действительно можем. Мы можем вычислить математическое ожидание случайной величины путем интегрирования ее дополнительной кумулятивной функции распределения (также известной как функция выживания).
Эта формула является непрерывным обобщением. Вы можете найти более подробное обсуждение этого факта в [1] и [2]. Я просто привожу иллюстративное доказательство для отдельного случая.
Имея в виду формулу (7), где функция f (t) в нашем случае - PresentValue (TotalProfit (t)), приращение на один период f (t + 1) -f (t) равно PresentValue (Profit (t)). Поэтому мы можем преобразовать нашу формулу LTV в более удобную форму:
LTV при мягких допущениях для быстрой оценки
Теперь рассмотрим нашу первую настройку LTV (1) с T, имеющим геометрическое распределение, но с немного смягченными предположениями, которые более реалистичны:
- Вместо постоянной регулярной прибыли за каждый период $ M мы будем использовать прибыль с постоянной составляющей линейного роста $ G.
- Учитывать временную стоимость денег (DCF с постоянной ставкой дисконтирования d)
Используя нашу сжатую формулу (9) для общего случая, выведите LTV в замкнутой форме для вышеуказанной настройки.
Пример
Проверьте наши результаты на синтетическом численном примере для настройки (10). Брать
- M = 23 $ - постоянная составляющая прибыли от одного покупателя за один период
- G = 3 доллара - компонент роста прибыли от одного покупателя за один период
- c = 13% - постоянная вероятность отмены / оттока клиентов в любой заданный период.
- d = 7% - ставка дисконтирования
Давайте вычислим его тремя способами, подставив в WolframAlpha: используйте выражение грубой силы для математического ожидания (6), короткое выражение для математического ожидания (9) и формулу замкнутой формы (11).
Проблемы аппроксимации бесконечной суммы LTV
Когда нам нужно вычислить LTV по общей формуле (9), возникает желание установить верхнюю границу количества периодов от бесконечности до конечного N.
Некоторые источники в Интернете рекомендуют принимать N как среднюю продолжительность жизни.
Но такой прокси может значительно недооценивать LTV, потому что он игнорирует будущие денежные потоки от клиентов с более длительным, чем средний срок жизни [3].
Чтобы проиллюстрировать, какую часть клиентов мы не принимаем во внимание, возьмем нашу настройку (10) с геометрически распределенным периодом отмены T.
Тогда доля клиентов с продолжительностью жизни больше среднего будет функцией вероятности отмены c. Доля весьма значительна, когда c невелико. Так что недооценка LTV при таком приближении тоже может быть значительной.
Компромисс между реалистичными предположениями и простотой формул
До сих пор мы видели, что либо у нас есть простая формула (2) при большом количестве упрощенных предположений, либо сложная формула с развернутой суммой (9) без каких-либо предположений. Есть компромисс?
да. Большинство наших предположений обусловлено поведением клиентов, которое представлено распределением случайной величины T - период разрыва отношений. Чем более простые предположения мы делаем относительно T, тем проще получаем распределение вероятностей и, следовательно, получаем более простую формулу LTV. Тогда реалистичные предположения могут быть включены с точной оценкой P (T = t).
Аппроксимация распределения вероятностей - это область статистики и машинного обучения, и мы не будем ее здесь рассматривать. Вместо этого ниже я даю некоторые ссылки на применение различных вероятностных моделей для анализа LTV.
- В [4] авторы предоставляют обзор сложных вероятностных моделей, применяемых к различным условиям.
- В [5] те же авторы применяют геометрическое распределение для вероятности и бета-распределение для априорной вероятности оттока.
Заключение
Мы начали с разработки предположений о том, что мы рассчитываем LTV в упрощенной настройке (1), где период отмены T имеет геометрическое распределение, а прибыль в каждом периоде постоянна. Затем, чтобы получить полную картину LTV, мы записали LTV как ожидаемую приведенную стоимость будущей чистой прибыли от клиента (6), используя простое определение ожидаемой стоимости. Это выглядело громоздко, и мы преобразовали его в более удобный вид (9), используя альтернативное представление математического ожидания в виде интеграла от функции выживания (7). После этого мы рассмотрели общую упрощенную настройку (10) с геометрически распределенным периодом отмены T, линейно растущей прибылью и ставкой дисконтирования, для которой выразили LTV в закрытой формуле (11). Мы также проверили наши формулы на примере (12). Затем мы обсудили потенциальную недооценку LTV (16) с использованием аппроксимации бесконечной суммы в формуле LTV с конечной суммой, ограниченной сверху средней продолжительностью жизни клиента. И, наконец, мы обнаружили способ включения более реалистичных предположений о поведении клиентов в LTV, а точнее - в распределение вероятностей случайной величины T.
P.S. Мы не углублялись в бизнес-аспекты LTV, потому что это не было целью. Например, мы не обсуждали, какие именно затраты следует учитывать при расчете чистой прибыли. Отметим только, что в верхнюю границу LTV включены только расходы, связанные с обслуживанием и поддержкой клиентов. Но некоторые авторы также вычитают затраты на привлечение клиентов (CAC) [6].
использованная литература
[1] Правило Дарта Вейдера - или вычисление ожиданий с использованием функций выживания, www.thirdorderscientist.org
[2] А. Ло, Демистификация формулы интегрированного хвостового вероятностного ожидания (2019), Американский статистик, том 73, выпуск 4
[3] П. Фейдер, Б. Харди, Что не так с этой формулой CLV? (2014), www.brucehardie.com
[4] П. Фейдер, Б. Харди, Вероятностные модели для анализа клиентской базы (2009 г.), 20-й ежегодный форум передовых исследовательских технологий, 2009 г.
[5] П. Фейдер, Б. Харди, Как спрогнозировать удержание клиентов (2007), Журнал интерактивного маркетинга, том 21, выпуск 1
[6] Опасное соблазнение формулы жизненной ценности, www.abovethecrowd.com
