Привет, народ ! эта серия будет охватывать все основные концепции теории вероятностей, необходимые для создания прочных основ науки о данных.
Сегодня в этом блоге я расскажу об очень интересной теме теории вероятностей, а именно о сигма-алгебре, которую также часто называют сигма-полем. Так что же такое сигма-алгебра?
Предположим, у нас есть выборочное пространство Ω (омега), такое что Ω ≠ Φ, что означает, что Ω является счетным непустым пространством. Пусть Β — семейство всех подмножеств A множества Ω, а P(Ω) — степенное множество такое, что P(Ω) = {X : X ⊆ Ω}.
Теперь возникает два случая:
- Когда Ω счетно, т. е. Ω = {ωᵢ}, i ∈ I.
- Когда Ω является пространством произвольной выборки.
В первом случае вероятностная мера Pна Ω определяется соотношением P (X) = ΣP({ω}) для каждого ω ∈ X.
Во втором случае почти невозможно определить точную вероятностную меру Pдля всех подмножеств Ω.
Теперь, когда В, семейство подмножеств A в Ω называется сигма-алгеброй или сигма-полем тогда и только тогда, когда оно обладает следующими свойствами (1.) B не является «Null», (2.) если X ∈B, то Xᶜ также ∈ В . (3.) если X₁, X₂, X₃… ∈Β, то X₁U X₂ U X₃ U …….. также ∈ B, (4.) само сигма-поле, т. е. B⊆ степенное множество Ω.
Спасибо и продолжайте следить за дальнейшими темами в этой серии.
