Прежде всего, что такое норма? В линейной алгебре норма означает общую длину всех векторов в пространстве.

Существуют разные способы измерения величины векторов, вот самые распространенные:

L0 Норма:

На самом деле это не норма. (См. Условия, которым должна удовлетворять норма здесь). Соответствует общему количеству ненулевых элементов в векторе.

Например, L0-норма векторов (0,0) и (0,2) равна 1, потому что имеется только один ненулевой элемент.

Хорошим практическим примером нормы L0 является тот, который дает Нишант Шукла при наличии двух векторов (логина и пароля). Если L0 норма векторов равна 0, то вход в систему прошел успешно. В противном случае, если норма L0 равна 1, это означает, что либо имя пользователя, либо пароль неверны, но не оба сразу. И, наконец, если норма L0 равна 2, это означает, что имя пользователя и пароль неверны.

L1 Норма:

Также известна как «Манхэттенское расстояние» или «Норма такси». L1 Norm - это сумма модулей векторов в пространстве. Это наиболее естественный способ измерения расстояния между векторами, то есть суммы абсолютных разностей компонентов векторов. В этой норме все компоненты вектора имеют одинаковый вес.

Имея, например, вектор X = [3,4]:

Норма L1 рассчитывается по формуле

Как вы можете видеть на графике, норма L1 - это расстояние, которое вам нужно преодолеть между исходной точкой (0,0) и местом назначения (3,4), что похоже на то, как такси проезжает между городскими кварталами, чтобы добраться до его пункт назначения.

Норма L2:

Это самая популярная норма, также известная как евклидова норма. Это кратчайшее расстояние от одной точки до другой.

Используя тот же пример, норма L2 рассчитывается по формуле

Как видно на графике, норма L2 - это наиболее прямой маршрут.

Есть одно соображение, которое следует принять в отношении нормы L2, и это то, что каждый компонент вектора возведен в квадрат, а это означает, что выбросы имеют больший вес, поэтому они могут исказить результаты.

Норма L-бесконечности:

Дает наибольшую величину среди каждого элемента вектора.

Имея вектор X = [-6, 4, 2], норма L-бесконечности равна 6.

В норме L-бесконечности только самый большой элемент имеет какое-либо влияние. Так, например, если ваш вектор представляет стоимость строительства здания, минимизируя норму L-бесконечности, мы уменьшаем стоимость самого дорогого здания.

Надеюсь, вы найдете эту статью понятной и легкой для восприятия, в противном случае не стесняйтесь задавать свой вопрос в разделе комментариев или в Твиттере. Буду рад прояснить любой вопрос.