Линейная алгебра требуется для большинства областей, особенно для машинного обучения и науки о данных. Я посмотрел серию видео под названием Суть линейной алгебры и нашел их очень полезными для понимания логики линейной алгебры. Я хотел поделиться некоторыми важными моментами из этих видео. Если у вас нет времени смотреть видео или вы просто хотите запомнить основы линейной алгебры, не стесняйтесь читать этот пост.
Что такое вектор?
Есть разные представления о векторах. Физики думают о них как о стрелах в космосе, специалисты по информатике рассматривают их как списки чисел. Для математика векторы могут быть любыми, если вы можете сложить два вектора и умножить вектор на число.
Хотя существуют разные интерпретации векторов, неважно, думаете ли вы о стрелках или списке чисел. Здесь важны переходы между ними, потому что это дает аналитику данных удобный способ визуализировать многие списки чисел и лучше понимать данные. Или он дает физикам или программистам язык для описания пространства с помощью чисел.
Что такое система координат?
Система координат - это место, где происходят переходы между стрелками и списком чисел. Для двух измерений у него есть ось x, ось y и начало координат. Координаты вектора показывают, как перейти от хвоста к кончику вектора.
Как добавить векторы?
Чтобы сложить два вектора, мы можем переместить второй вектор так, чтобы он находился на вершине первого вектора. Чтобы понять причину этого, мы можем представить векторы, показывающие движение в пространстве. Следовательно, движение сначала с вектором, а затем со вторым означает, что мы изменили нашу позицию как сумму двух векторов.
Как умножить вектор на число?
Умножение вектора на число означает, что вы растягиваете или сдавливаете его, другими словами масштабируете. Вот почему эти числа называются скалярами.
Что такое базисные векторы?
Вектор в 2D-пространстве имеет две координаты. Мы можем рассматривать эти координаты как скаляры, масштабирующие единичные векторы на каждой оси, называемые i ^ и j ^. i ^ и j ^ называются базисными векторами. Мы можем выбрать разные базисные векторы и получить новую систему координат и представить один и тот же вектор с разными координатами.
Что такое линейная комбинация?
Масштабирование векторов и их сложение называется линейной комбинацией. Но почему это называется линейным? Если вы исправляете один вектор и позволяете другому свободно изменять свое значение, кончики результирующих векторов рисуют линию, и ее имеет смысл назвать линейной.
Что такое спан?
Вместо того, чтобы фиксировать один вектор и изменять другой, как в предыдущем примере, мы можем свободно изменять два вектора и брать их линейные комбинации.
- Для большинства пар векторов мы можем достичь каждого вектора в пространстве.
- Если оба вектора совпадают, результирующий вектор ограничивается одной линией, проходящей через начало координат.
- Если оба вектора равны нулю и доступен только нулевой вектор.
Набор всех возможных векторов, которые могут быть достигнуты с помощью линейной комбинации данной пары векторов, называется диапазоном этих двух векторов.
Диапазон двух трехмерных векторов двумерен. Если есть три трехмерных вектора, их промежуток трехмерен. Но если третий вектор находится в промежутке с другими, они по-прежнему охватывают одно и то же 2D-пространство.
Что такое линейно зависимые и независимые векторы?
Мы говорили о промежутках между 2D и 3D векторами. В некоторых случаях добавление нового вектора не меняет диапазон. В этом случае мы говорим, что векторы линейно зависимы. Один из векторов может быть выражен как линейная комбинация других, потому что вектор уже находится в их диапазоне. Если каждый вектор действительно добавляет еще одно измерение к охвату, они являются линейно независимыми векторами.
В свете этой новой информации мы можем теперь сказать, что базис пространства - это набор линейно независимых векторов, охватывающих все пространство.
Что такое линейное преобразование?
Преобразования подобны функциям, которые принимают векторы в качестве входных данных и дают векторы в качестве выходных. Визуальная интерпретация преобразования заключается в перемещении входного вектора по выходному вектору.
Чтобы понять идею преобразования в целом, мы можем представить, как каждый возможный вектор движется к соответствующему выходному вектору или точкам, если мы рассматриваем только кончики векторов. Следовательно, преобразования подобны морфингу самого пространства. С геометрической точки зрения, линейность преобразования означает, что все линии сетки остаются параллельными и равномерно разнесенными.
Чтобы описать преобразование численно, нам нужно только записать, где приземляются i ^ и j ^, и все остальное будет следовать из этого, потому что мы можем записать любой другой вектор как линейную комбинацию базисных векторов. Мы можем полностью описать двумерное линейное преобразование с помощью этих четырех чисел и записать их в виде матрицы 2x2. Чтобы найти, где конкретный вектор приземлится после преобразования, мы берем координаты вектора, умножаем их на соответствующие столбцы матрицы и складываем. Это умножение матрицы на вектор.
Следите за обновлениями второй части этой серии :)
