Бросить монету. Прежде чем монета упадет на землю, я спрашиваю вас: «Какова вероятность того, что выпадет решка?». Теперь, если вы похожи на большинство людей, вы бы интуитивно ответили: «0,5». Позвольте мне спросить вас: «Почему?». Почему не любой другой номер? В самом деле, о чем вообще мой вопрос? Что именно я имею в виду, когда спрашиваю о вероятности? Это свойство монеты? Из вашего ума? Вселенной? Давайте посмотрим глубже…
Но сначала: правила
Итак, каковы правила этого разговора? Что представляет собой «вероятность»?
В простейшем смысле вероятность — это число от 0 до 1 (включительно), которое присваивается какому-либо неизвестному событию с целью сообщить, насколько оно вероятно. Есть три основных правила, которые мы должны соблюдать при установке числа:
Примечание: результатом эксперимента является некоторое наблюдение. При броске костей результатом является число (1, 2…6, соответствующее выпавшей грани). Событие — это комбинация одного или нескольких результатов. Событием эксперимента с бросанием костей может быть 5 или 6 (это событие представляет собой комбинацию двух исходов → Исход 1: выпадает 5. Исход 2. 6 ходов). вверх).
Правило 1:0 дается невозможным событиям, что означает, что они не произойдут ни при каких обстоятельствах. Примером может служить вероятность того, что вы не увидите ни орла, ни решки, когда вы подбрасываете монету (на самом деле, если монета окажется полностью сбалансированной на своем ребре, вы не увидите ни орла, ни решки, но давайте проигнорируем это).
Правило 2.Если событие достоверно, ему присваивается вероятность 1.Это набор всех возможных результатов эксперимента. Присвоение вероятности 1 означает нашу уверенность в том, что, хотя мы не можем быть уверены в каждом отдельном результате, мы обязательно увидим что-то. Определенным событием жеребьевки будет выпадение орла или решки.
Правило 3. Если два события являются взаимоисключающими, вероятность возникновения любого из двух событий равна сумме их индивидуальных вероятностей. Чтобы проиллюстрировать это, возьмем пример бросания игральной кости. Возможны 6 событий, которые могут произойти. Все события взаимоисключающие, то есть мы не можем видеть одновременно 5 и 6, это либо-или. Таким образом, вероятность, приписываемая событию (на игральных костях выпадает 5 или 6) = вероятность того, что на игральных костях выпадет 5 + вероятность того, что на игральных костях выпадет 6.
И это все! Использование только этих трех правил (или аксиом) гарантирует непротиворечивость всей математики и теорем вероятности. Просто, верно? Но за этой простотой скрывается вопрос: Что такое вероятность?. Мы начали с попытки определить вероятность и вместо этого установили набор правил, фактически не отвечая на вопрос. Как оказалось, есть много школ мысли, которые имеют дело с тем, что такое вероятность на самом деле.
Конечно, нам не обязательно соглашаться с тем, почему и как вы присваиваете вероятности. Как только мы назначим его, вы можете свободно использовать математику вероятности. Но в этом посте мы не собираемся говорить о математике. Мы копнем немного глубже и рассмотрим идеи, касающиеся природы вероятности.
В оставшейся части этого поста я введу классическое понятие вероятности, которая является самой ранней изученной формой вероятности. Мы проанализируем эту интерпретацию и увидим, как ее конечный недостаток породил две совершенно разные школы вероятностной мысли.
Классическая вероятность
Классический взгляд на вероятность начинается с разложения результатов эксперимента на элементарные исходы. Эти элементарные исходы являются исходами, которые равно возможны или относительно существования которых мы в равной степени не уверены» (из Лапласа, 1814).
Вероятность события определяется как доля от общего числа исходов, которые приводят к событию.
Проиллюстрируем это на примере броска игральной кости. Предположим, мы находимся в азартном настроении и хотим сделать ставку на то, что в результате броска выпадет число больше 4. Однако на самом деле мы не хотим делать ничего импульсивного и хотим «проверить», насколько обоснованна наша ставка. *. Мы решили вычислить его вероятность в классическом смысле.
Определите предложение**. Еще до того, как мы начнем, полезно определить предложение. Это облегчит определение вероятности для него (и получение вознаграждения, если наша игра сработает!). Наше предложение таково: «бросок костей дает число больше четырех».
- Разбейте все возможные будущие события на элементарные результаты:Чтобы найти набор исходов, которые являются элементарными, мы используем некоторую симметрию изучаемой системы. В этом случае кости имеют естественную 6-кратную симметрию. Это означает, что, за исключением числа на каждой грани, все шесть граней игральных костей идентичны во всех отношениях. Таким образом, нет никаких причин, по которым природа ("в равной степени возможны") или наша логика ("в равной степени сомневаются в своем существовании") отдает предпочтение какому-либо лицу. ). Таким образом, набор всех элементарных событий равен {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Не идя вперед, не проводя эксперимент и не бросая кости, мы не можем различить эти шесть исходов.
- Подсчитайте случаи, благоприятные для события, вероятность которого искомая:Теперь, когда у нас есть элементарные исходы, довольно просто выбрать исходы, благоприятные для нашего предложения. Эти исходы {5, 6}.
- Рассчитайте вероятность предложения:это отношение благоприятных исходов. В нашем случае благоприятными исходами являются {5, 6}(2 числом) среди всех элементарных исходов {1, 2, 3, 4, 5, 6} (6 в количестве). Таким образом, вероятность события: 2/6 = 1/3. Около 33%!
Является ли классическая вероятность вероятностью?
Можно проверить, что рассчитанное нами число на самом деле является вероятностью. Другими словами, мы можем показать, что он соблюдает три правила, которые мы установили ранее.
- Несомненным событием является то, что на гранях костей выпадет любое число от 1 до 6. Мы можем вернуться назад и подсчитать, что классическая вероятность того, что это событие произойдет, на самом деле равна 1.
- Невозможное событие состоит в том, что выпадет любое число меньше 1 или больше 6. Мы снова можем проверить, что классическая вероятность невозможного события равна 0.
- Наконец, классическая вероятность того, что выпадет 4 или 5 (оба события взаимоисключающие), равна классической вероятности того, что выпадет 4, плюс классическая вероятность того, что выпадет 5.
Интерпретация и ограничения классической точки зрения
Классическая интерпретация вероятности интуитивно проста. Он предлагает определение вероятности, которое устраивает большинство из нас: это свойство эксперимента. Симметрия системы ограничивает то, насколько точно мы можем предсказать ее результат. Лучшее, что мы можем сделать, — это подсчитать, каким образом наше предсказание может сбыться, соблюдая эти симметрии. Пример с азартными играми, выбранный здесь для иллюстрации классической вероятности, не случаен. Истоки классического взгляда на вероятность (фактически самой вероятности) можно проследить до азартных игр. Однако в этом и заключается его первое ограничение…
Классическая интерпретация слишком проста
Перечисление набора элементарных исходов возможно (и часто просто) для игровых схем, подобных той, которую мы рассмотрели. Однако для сложных событий их перечисление может оказаться невозможным. Во многих случаях о таких исходах даже говорить не имеет смысла. Например, что означает элементарный результат, когда вы пытаетесь рассчитать вероятность того, что утверждение окажется верным («Каковы шансы, что Бог существует?»)? В большинстве сценариев реального мира трудно/невозможно/нелогично искать все результаты, которые соответствуют условиям Лапласа о том, что они равновозможные и/или равно неопределенные. Кстати говоря…
Должна ли симметрия быть физической или эпистемологической?
Классическая интерпретация не проясняет, как именно мы должны выбирать эти элементарные результаты. Условие равной возможности предполагает некоторую физическую симметрию. Это позволяет интерпретировать классическую симметрию как объективный факт природы. Вероятность выпадения орла или решки при подбрасывании монеты является свойством двусторонней симметрии самой монеты. Это может быть я, или вы, или кто-то другой, подбрасывающий монету, но вероятность каждого исхода остается равной 1/2 из-за природы монеты.
Второе условие; то, что элементарный результат должен быть таким, что мы "в равной степени не уверены в их существовании", подразумевает эпистемическую или основанную на знаниях симметрию. Эта симметрия связана с тем, что мы не можем логически различать истинность элементарных результатов. Другими словами, мы ограничены нашими знаниями.Эта эпистемическая неопределенность, конечно, может быть связана с некоторой лежащей в основе физической симметрией системы. Возможно, вы полагаете, что вам следует присвоить орлу и решке равную вероятность из-за того факта, что монета физически симметрична. Однако, если я знаю, что монета взята из коллекции «особых монет» Дяди Тома, которые благоприятствуют выпадению орла, я вполне могу присвоить орлу большую априорную вероятность чем хвосты. Обратите внимание, что кто-то другой, знающий о предвзятом происхождении монеты, все равно будет полагать ее симметричной. Для этого человека орел и решка являются элементарными исходами, поскольку они в равной степени неопределенны между двумя исходами. Однако для меня, с дополнительными знаниями о монете, орел и решка не являются элементарными результатами, поскольку у меня есть основания полагать, что монета с большей вероятностью выпадет орлом а не хвосты. Другими словами, я могу рассматривать вероятность как эпистемическое утверждение, отражающее нашу «степень доверия», а не какое-то фундаментальное свойство вселенной.
Классическая Вероятность не различает и фактически активно смешивает эти две симметрии. Это может хорошо работать для азартных игр или простых экспериментов, где эпистемическая неопределенность затмевает физическую неопределенность. Однако во многих случаях физическая симметрия не поддается измерению или даже не имеет смысла говорить о ней. Напротив, существует множество физических систем (ярким примером является квантовая механика), которым действительно присущи некоторые внутренние вырождения. Для таких систем физическая или естественная интерпретация вероятности имеет больше смысла, чем эпистемологическая.
Кроме того, даже если игнорировать эту дихотомию…
Классическая интерпретация на самом деле не интерпретация
К сожалению, классическая интерпретация на самом деле не дала никакого ответа на наш первоначальный вопрос «что такое вероятность?». В классических терминах вычисление вероятности включает в себя подсчет равновероятных исходов. Но это круговое определение! Если для определения вероятности требуется знание равновероятности (в исходах), оно на самом деле не дает никакого представления о том, что такое вероятность на самом деле.
Из-за этих недостатков область классической теории вероятности была разделена между двумя школами мысли. Один лагерь, называемый объективистами, сосредоточился на вопросе о физической вероятности, рассматривая ее как неотъемлемое утверждение о вселенной (отсюда и «объективизм»). С другой стороны, субъективисты занимались эпистемологическими вероятностями. Для них все вероятностные утверждения просто отражают состояние знаний субъекта, делающего утверждение (отсюда и «субъективизм»).
Мы более подробно рассмотрим эти две очень разные точки зрения в следующих постах.
Наверное.
Сноски
* Здесь я делаю предположение, что вероятность определяет рациональный метод размещения ставки. На самом деле, можно показать, что если поведение человека при размещении ставок не отслеживает вероятность события, на которое он делает ставку, это может привести к логической несогласованности, при которой он всегда проигрывает. Это называется Голландская книжная теорема.
** «Событие» и «Предложение» взаимозаменяемы. Этот нюанс не приводит ни к какой потере информации или непротиворечивости данной статьи.
Дальнейшее чтение
[1] Стивенс М., Вероятность и шанс, In DM Borchert (ed.), Философская энциклопедия, второе издание. Макмиллан (2006)
Это отличный обзор, и он был моей отправной точкой для этой статьи.
[2] Лаплас, П. С., Философский очерк вероятностей, Нью-Йорк: Dover Publications Inc. (1814 г., английское издание 1951 г.)
Трактат Лапласа о вероятности составляет краеугольный камень классической теории вероятностей.
