Прежде чем перейти к этой статье, обратите внимание, что эти истории представляют собой серию «На пути к пониманию линейной алгебры», и я советую вам сначала взглянуть на часть 1.
Как я уже писал в Части 1, я считаю важным, чтобы вы не полагались только на один источник при изучении каких-либо материалов, а использовали его в качестве отправной точки или руководства. Используйте несколько источников информации, статей, видео, людей, пока полностью не поймете концепции.
Хорошо, приступим!
Материалы, рассматриваемые в Части 2:
В этой статье я собираюсь осветить важные фундаментальные концепции линейной алгебры, такие как:
- Линейные комбинации
- Столбец и строка
- Nullspace (или иногда его называют ядром)
- Классифицировать
- Сводные переменные и свободные переменные
Если вы знаете все вышеперечисленное, все готово. У меня есть их краткое изложение внизу, чтобы вы могли быстро сформулировать эти ключевые концепции.
Повторение линейных комбинаций
Я немного говорил о линейных комбинациях в Части 1, но давайте закрепим эту концепцию.
Линейная комбинация - это любая комбинация, которая может быть выражена с помощью
1) умножение на константы
2) сложение
3) комбинации 1 и 2
Например, предположим, что у вас есть 2 вектора-столбца v и w. Линейные комбинации двух векторов выглядят примерно так.
Это могут быть любые комбинации, если они линейно объединены вместе. Другими словами, вы не преобразовываете векторы, например, умножаете их вместе. Если вы хотите узнать немного больше, перейдите по ссылке ниже.
Введение в пространство строк и столбцов
До сих пор мы изучали векторное пространство и подпространство. Давайте поговорим о пространстве столбцов и строк.
К настоящему времени вы должны знать, что такое строки и столбцы.
Короче,
- пространство строк - это подпространство, которое представлено линейными комбинациями векторов-строк.
- пространство столбцов - это подпространство, которое представлено линейными комбинациями векторов столбцов.
Давайте посмотрим на простой пример. Предположим, у вас есть матрица, подобная приведенной ниже. В этом случае у нас есть 2 вектора-столбца. Пространство столбцов, представленное такими векторами, показано ниже. Это похоже на плоскость, наклоненную на 45 градусов по оси x.
То же самое и с пространством строки. Я встроил ссылку на вики по этой теме, так что не стесняйтесь переходить и смотреть ниже.
Введение в нулевое пространство
Теперь приходит очень важное понятие в линейной алгебре, называемое нулевым пространством! Нулевое пространство - это подпространство, представленное следующим уравнением:
Обратите внимание, что мы не решаем квадратные уравнения в конце? Давай попробуем и посмотрим, что получится.
Это ни к чему не ведет. Нам нужны ответы с ненулевыми значениями, чтобы понять, какой именно x мы здесь ищем.
Итак, выбирая произвольные числа, мы получаем 2 результирующих вектора. Это создаст пустое пространство, подобное приведенному ниже. Поскольку мы смотрим на двумерное пространство, а есть два вектора, нулевое пространство - это, по сути, вся плоскость, покрывающая двумерную плоскость.
Подводя итог, нулевое пространство - это подпространство, представленное набором всех векторов x, которое удовлетворяет Ax = 0 (при условии, что A - матрица, 0 - нулевой вектор).
Введение в ранг
Предположим, у вас есть матрица, подобная приведенной ниже.
Ранг матрицы эквивалентен количеству опорных точек. Итак, давайте выполним исключение строк, чтобы определить точки поворота.
В этой матрице у нас есть 2 точки поворота. Ранг такой же, как и количество опор. Следовательно, имеем rank (A) = 2.
Однако заметили ли вы, что матрица A имеет 3 столбца? Итак, ранг матрицы = 2, а размерность матрицы = 3. Посмотрим, к чему это нас приведет. Сначала мы преобразуем форму эшелона строк в сокращенную форму эшелона строк, как мы делали в Части 1.
И давайте попробуем решить это на основе уравнения с нулевым пространством: A x = 0
Теперь вы видите, что здесь что-то странное. Размерность матрицы говорит нам, сколько переменных x нам нужно идентифицировать, но поскольку ранг матрицы равен 2, что на 1 меньше размерности, у нас есть только 2 уравнения для 3 переменных. Если вы помните, как в былые времена вы решали квадратные уравнения, вы знаете, что вы не можете решить уравнения, потому что у нас просто недостаточно информации.
Позвольте мне привести вам еще один пример, чтобы доказать это. Давайте представим другую матрицу размерности 3 и ранга 3.
Итак, теперь, посмотрев на это сравнение, я надеюсь, вы понимаете, что нет способа определить точное x_2 в левом примере, где ранг на 2 и 1 меньше измерения.
Последнее понятие сегодня касается свободных переменных. В приведенном выше примере слева у нас нет возможности определить точное значение x_2, и если это так, мы можем буквально присвоить любые значения. Это может быть 1, 0,5 или 92842 и т. Д. Обычно мы назначаем самые простые, например 1. Мы называем эти переменные свободными переменными. Важно помнить, что количество свободных переменных соответствует размерности за вычетом ранга. В приведенном выше примере у нас было измерение = 3 и ранг = 2, что дает нам 3–2 = 1. Вот почему в этом примере у нас была только 1 свободная переменная.
Как я сказал в Части 1, не стесняйтесь гуглить и искать другие объяснения и материалы, если вы все еще чувствуете, что что-то упускаете или концепции все еще нависают над вашей головой. Я пытаюсь дать вам первоначальный триггер, чтобы узнать материал. Чтобы понять концепцию, вам нужно изучить, обработать информацию, пока вы не получите правильную концепцию.
Резюме
Подведем итог тому, что мы узнали в этой статье:
- Линейные комбинации
Любые комбинации 1) умножения на константы и 2) суммирования векторов называются линейными комбинациями.
- Столбец и строка
Подпространство, представленное линейными комбинациями векторов-столбцов или векторов-строк.
- Nullspace (или иногда его называют ядром)
Подпространство, представленное всеми линейными комбинациями x, где x удовлетворяет: A x = 0.
- Классифицировать
Ранг матрицы эквивалентен количеству точек поворота матрицы.
- Сводные переменные и свободные переменные
Сумма количества опорных и свободных переменных равна размерности матрицы. Другими словами, количество свободных переменных = размерность матрицы минус ранг.
Надеюсь, это поможет! Увидимся в следующий раз!
