Квантовые вычисления

Это вторая из серии статей о квантовом машинном обучении. Первый и вводный — https://medium.com/@agus.bignu97/quantum-machine-learning-a7d8d135bc58.

В этой статье и следующей мы поговорим о квантовых вычислениях и нескольких алгоритмах, которые помогут понять полезные идеи в следующих разделах.

Теоретические основы

Квантовые вычисления — это другой вид вычислений, чем классические вычисления, они состоят из другой физической основы, другого оборудования и требуют особых условий для своей работы (низких температур). Здесь мы обсудим программное обеспечение и кратко представим существующие типы квантовых компьютеров.

Кубит

Поскольку бит является фундаментальной единицей классических вычислений, квантовые вычисления имеют свою собственную фундаментальную единицу, квантовый бит или кубит (Quantum Bit) [1].

Кубит будет описан как математическая сущность с определенными свойствами. Как и его классический аналог, он может находиться в состояниях 0 или 1. В обозначениях Дирака |0⟩ и |1⟩. Явное различие между битом и кубитом заключается в том, что последний может находиться в другом состоянии, чем два предыдущих. То есть он может находиться в состоянии, которое представляет собой линейную комбинацию двух других состояний, иногда называемую суперпозицией.

|𝜓⟩=𝛼|0⟩+𝛽|1⟩ (1)

где α и β — комплексные числа. Можно сказать, что кубит — это вектор, принадлежащий комплексному двумерному векторному пространству. Состояния |0⟩ и |1⟩ образуют ортонормированный базис этого пространства.

При измерении кубита мы можем получить два значения 0 или 1 с вероятностями |𝛼|^2 и |𝛽|^2 соответственно. Будучи нормализованными состояниями, вероятности должны добавить единицу, то есть |𝛼|^2 + |𝛽|^2 = 1. Эта идея квантовой суперпозиции противоречит тому, что мы воспринимаем в нашей повседневной жизни.

Очень полезным способом визуализации кубита является использование сферы Блоха (см. рис. 1). Из уравнения (1), принимая во внимание, что 𝛼 и 𝛽 являются комплексными и что их сумма вероятностей равна 1, мы перепишем уравнение следующим образом

|𝜓⟩=(cos(𝜃/2)|0⟩+𝑒^(𝑖𝜑)sin (𝜃/2)|1⟩)𝑒^(𝑖𝛿) (2)

где 𝛿, 𝜑 и 𝜃 — действительные числа. Зная, что множитель 𝑒^𝑖𝛿 является фазой и не влияет на меры, мы можем исключить его из выражения (2), оставив это выражение в виде

|𝜓⟩=cos(𝜃/2)|0⟩+𝑒^(𝑖𝜑)sin (𝜃/2)|1⟩ (3)

Видно, что выражение (3) определяет единичную сферу в трех измерениях, где 𝜑 и 𝜃 — углы, охватывающие эту сферу.

Несколько кубитов

Теперь рассмотрим состояния, в которых у нас более одного кубита. Векторное пространство системы с 𝑁 кубитами будет иметь размерность 2^𝑁 и останется пространством над комплексными числами. Чтобы проиллюстрировать вышесказанное, давайте возьмем пример состояния с двумя кубитами.

Как и в случае с одним кубитом, если бы у нас было два, у нас было бы четыре возможных состояния, к которым система может получить доступ. Точно так же он находился бы в суперпозиции этих состояний. База будет иметь четыре состояния, представляющие векторное пространство четвертой размерности. Состояния, нормализованные и ортонормированные, будут |00⟩, |01⟩, |10⟩ и |11⟩. В случае одного кубита у нас было две амплитуды вероятности, по одной для каждого состояния. В этом случае, поскольку состояний четыре, у нас будет четыре амплитуды. Квадрат каждого дает нам вероятность того, что система рухнет до этого состояния, и все они в сумме дают единицу.

Как видно, количество возможных состояний увеличивается экспоненциально по мере увеличения количества кубитов системы, например, для пяти кубитов мы будем иметь комплексное векторное пространство размерности 32, то есть степени свободы такие же, как у пространства 𝑪³² (кроме глобальной фазы и нормализации). Другой пример — 100 кубитов, здесь мы находимся в векторном пространстве 𝑪^10³⁰. Имея, таким образом, все возможные сложные линейные комбинации, чтобы иметь возможность воспользоваться этим. Вот где вы можете увидеть силу расчета, которой эта технология обладает по сравнению с классической.

Квантовые логические вентили

Мы должны понимать и разрабатывать алгоритмы квантовых вычислений с помощью квантовых схем. Как и его классические аналоги, у нас есть квантовые ворота, которые, соединенные вместе, позволяют нам манипулировать информацией и передавать ее. Далее мы опишем (см. таблицу 1) основные квантовые вентили и символы схемы [3].

В таблице 1 показаны главные ворота. В некоторых из приведенных нами случаев, таких как S и T, их сопряженные матрицы используются для формирования других вентилей для выполнения другой желаемой задачи.

Типы квантовых компьютеров

Существует много типов квантовых компьютеров, однако в этом разделе мы представим наиболее важный для понимания всей работы — квантовый отжиговый компьютер.

Компьютер квантового отжига наименее мощный, но в то же время самый простой в исполнении. Основное внимание уделяется задачам оптимизации и вероятностной выборке. Его главным преимуществом является способность решать большие задачи и за гораздо меньшее время, чем суперкомпьютеры, которые используются в настоящее время.

С точки зрения оптимизации, этот тип квантовых компьютеров позволяет нам подойти к проблеме с точки зрения физики как к задаче минимизации энергии. Мы начинаем с известных начальных условий и позволяем системе развиваться, изменяя пороговый параметр. То есть с помощью компьютеров с квантовым отжигом, опираясь на законы квантовой механики, мы пытаемся найти минимальное энергетическое состояние системы.

С другой стороны, мы сказали, что они также используются для вероятностной выборки. В случае желания найти состояние с минимальной энергией будет производиться выборка низких энергий до тех пор, пока не будет найден желаемый минимум. Благодаря этому у нас может быть вероятностное видение различных проблем. Этот тип инструмента очень полезен в машинном обучении.

Компьютеры квантового отжига позволяют и позволят, по мере упрощения их внедрения, совершенствовать различные отрасли: обработку данных, финансы, машинное обучение и т. д. В этой статье мы сосредоточимся на квантовом машинном обучении. То есть применять этот тип технологий к различным алгоритмам машинного обучения и ИИ.

Существует еще один тип квантового компьютера, универсальный квантовый компьютер, вы можете найти больше информации здесь: https://medium.com/@jackkrupansky/what-is-a-universal-quantum-computer-db183fd1f15a

Выводы

Подводя итог, в этой статье были представлены теоретические основы квантовых вычислений. Однако это не вся теория. Здесь мы представили темы, которые будут полезны в будущем.

В следующей статье мы поговорим о двух важных квантовых алгоритмах: алгоритме Дойча и алгоритме Шора.

Так держать!

использованная литература

[1]Майкл А. Нильсен и Исаак Л. Чуанг. Квантовые вычисления и квантовая информация, выпуск к 10 летию. Издательство Кембриджского университета, 2009.

[2]Майкл А. Нильсен и Исаак Л. Чуанг. Квантовые вычисления и квантовая информация, 10-е юбилейное издание, рис. 1.3. Представление кубита сферой Блоха. Издательство Кембриджского университета, 2009.

[3] IBM Q Experience, https://quantumexperience.ng.bluemix.net/qx/editor