Это «по определению». Два ненулевых вектора называются ортогональными, если (если и только если) их скалярное произведение равно нулю.
Хорошо. Но почему мы так определили ортогональность?
Скалярное произведение двух векторов определяется алгебраически:
Тем не менее, существует также геометрическое определение скалярного произведения:
a • b = ‖a‖ * ‖b‖ * cosø
который умножает длину первого вектора на длину второго вектора на косинус угла между двумя векторами.
А угол между двумя перпендикулярными векторами равен 90 °.
Когда мы заменяем ø на 90 ° (cos 90 ° = 0), `a • b` становится равным нулю.
Мне нужно больше, чем просто определение. Покажи мне что-нибудь реальное?
Хорошо… тогда позвольте мне показать вам, как эти два определения (геометрическое и алгебраическое) согласуются друг с другом посредством теоремы Пифагора.
Ниже приводится краткое изложение векторной нормы. Они будут использоваться при расширении теоремы Пифагора до n-мерности.
Теперь рассмотрим два вектора [-1, 2] и [4, 2].
Алгебраически, [-1, 2] • [4, 2] = -4 + 4 = 0.
Применяя формулу длины ② к теореме Пифагора:
Геометрически вы можете видеть, что они также перпендикулярны.
Геометрическое определение совпадает с алгебраическим!
Популярная викторина:
Ортогональные векторы линейно независимы. Это кажется очевидным, но можете ли вы доказать это математически?
Подсказка: можно использовать два определения. 1) Алгебраическое определение ортогональности
2) Определение линейной независимости: векторы {V1, V2,…, Vn } линейно независимы, если уравнение a1 * V1 + a2 * V2 +… + an * Vn = 0 может выполняться только при ai = 0 для всех i.
