«В этом посте предполагается, что известны основные понятия вероятности, например, что такое пространство выборки, эксперимент, события? и основная вероятность. Если нет, то избавься от него. "
Пример:
Рассмотрим случайный эксперимент по подбрасыванию монеты дважды.
Пробел (S) = {HH, HT, TH, TT}
Пусть E - это событие получения ровно одной головы, а F - событие получения хотя бы одной головы.
E = { HT, TH}
F = { HT, TH, HH}
P (E) = P (HT) + P (TH)
P (E)= ¼ + ¼
∴P (E) = ½
P (F)= P(HT) + P (TH) + P(HH)
P (F)= ¼ +¼ +¼
∴P (F)= ¾
Условная вероятность:
В приведенном выше примере мы рассчитали вероятность события. Но в условной вероятности мы вычисляем вероятность события на основе некоторого условия, и что какое-то условие - это не что иное, как другое событие уже произошло.
Он обозначается P (E / F) и читается как вероятность события E при условии, что событие F уже произошло.
P (E / F) = P (E ∩ F) / P (F)
Рассматривая приведенный выше пример, E ∩ F = {HT, TH}
∴ P (E ∩ F) = ½
Теперь мы должны определить вероятность E, т.е. получить ровно одну голову, когда событие F, то есть получение одной головы, уже произошло.
P (E/F) = ½ / ¾
∴P (E/F) = ⅔
Утверждение: если E и F - два события, связанные с пространством выборки случайного эксперимента, условная вероятность события E при условии, что F произошло (обозначается P (E / F)), равна ,
P (E / F) = P (E ∩ F)/P (F)
Вопрос 1 : В семье 2 ребенка. Какова вероятность того, что оба ребенка - мальчики, учитывая, что хотя бы один из них - мальчик?
Решение. В семье 2 ребенка, затем выберите пространство S,
S = { bb, bg, gb gg }
Пусть E событие обоих из них - мальчики, а F - событие хотя бы одного из них - мальчик.
E = { bb }
F = { bg, gb, bb}
Теперь, учитывая, что хотя бы один из них - мальчик, нам нужно выяснить вероятность, что оба мальчика, то есть P (E / F)
E ∩ F = { bb }
P (E ∩ F) = ¼, P (F) = ¾
P (E / F) = P (E U F)/P (F)
P (E / F) = ¼ / ¾
∴ P (E / F) = ⅓
Теорема умножения:
Пусть E и F - два события, связанные с пространством выборки S.
Оба события E и F произошли, то есть E ∩ F. Мы хотим найти такую вероятность, что оба события E и F произошли, то есть P (E ∩ F).
Интуитивно мы можем сказать, что одно из событий произошло первым (E или F).
P (E ∩ F) = P (E) . P (F/E)
Первый член - это вероятность события E, а второй член - это вероятность события F, когда событие E уже произошло.
С другой стороны, если событие F уже произошло, то теорема умножения меняется на,
P (E ∩ F) = P (F) . P (E/F)
Второй член говорит, что теперь событие F уже произошло и нам нужно найти вероятность E.
Вопрос 2: Урна содержит 10 черных и 5 белых шаров. Из урны один за другим вынимаются 2 шара без замены. Какова вероятность того, что оба выпавших шара черные.
Решение. Пусть E - это событие, когда первый выпавший шар черный, а F - событие, когда второй шар также черный.
Сумка содержит 15 мячей. Если вытащить первый шар, то теперь в сумке будет 14 мячей. Потому что первый выпавший шар больше не попадает в мешок, и это означает без замены.
Вероятность возникновения события E равна,
P (E) = 10/15
Теперь первый выпавший шар черный, и нам нужно определить, какова вероятность того, что второй выпавший шар будет черным, то есть P (F / E) = 9/14.
Вероятность того, что оба шара черные, определяется выражением
P (E ∩ F) = P (F) . P (E/F)
∴ P (E ∩ F)= 10/15 * 9/4
Теорема умножения может быть расширена до n событий.
Независимые события:
Давайте возьмем пример, чтобы понять независимые события.
Предположим, мы хотим узнать вероятность вытянутой карты из колоды из 52 карт, при которой взятая карта является королем.
На карте 4 короля. Таким образом, вероятность вытащить 1 карту из колоды 52 равна,
P (король) = 4/52
А теперь давайте изменим вопрос. Мы хотим узнать, какова вероятность выпадения двух королей.
Возникает вопрос, нарисованы ли 2 короля, как они нарисованы? т.е. последовательно или одновременно. Если последовательно, то снова с заменой или без?
Древовидная диаграмма может быть представлена следующим образом:
Если выпадают 2 короля без замены, то вероятность определяется как
Если выпадают 2 короля с заменой, то вероятность определяется как
Если внимательно искать одновременно и без замены, ответ будет точно таким же.
Так что интуитивно мы можем сказать, что эти два случая одинаковы.
Для случая с заменой мы можем интуитивно сказать, что если первая карта вытягивается и снова помещается в оставшиеся карты, то вытягивание первой карты не повлияет на вытягивание второй карты, т.е. вероятность первого события не будет отличаться от второй.
Таким образом, можно сказать, что замена с заменой приведет нас к самостоятельным событиям.
Определение: два события E и F считаются независимыми, если вероятность возникновения одного из них не отличается от возникновения другого.
Математически,
P (E / F) = P (E) и P (F / E) = P (F)
Возникновение одного события не зависит от другого.
Если E и F 2 независимы, то теорема умножения меняется как,
P (E ∩ F) = P (E) . P (F/E)
∴ P (E ∩ F) = P (E) . P (F)
Взаимоисключающие события:
Два события считаются взаимоисключающими, если их пересечение равно нулю, т.е.
E ∩ F = ∅
Для таких двух событий P (E ∩ F) = 0.
Правило общей вероятности:
Предположим, что E1, E2, E3, ………, En - n взаимоисключающих событий в пространстве выборки, а A - любое четное событие, связанное со всеми этими событиями, тогда,
P (A) = P (E1) . P (A/E1) + P (E2) . P (A/E2) + ………………… + P (En) . P (A/En)
Вопрос 3: Есть 3 мешка A, B и C. В мешке A 2 зеленых и 3 красных шара, в мешке B 1 зеленый и 4 красных шара, а в мешке C 3 зеленых и 2 красных шара. Случайно выбирается сумка и из нее выбирается мяч. Какова вероятность того, что это зеленый шар.
Решение. Пусть E1, E2 и E3 будут такими событиями, что выбраны baag A, B и C соответственно.
Пусть E - событие получения зеленого шара.
P (A) = P (E1) . P (A/E1) + P (E2) . P (A/E2) + P (E3) . P (A/E3)
Первый член в приведенном выше уравнении говорит о том, что выбрана вероятность мешка A, а второй член - это вероятность события A, когда мешок 1 уже выбран. Аналогично для всех остальных условий.
P (A/E1) = ⅖ , P (A/E2) = ⅕ , P (A/E3) =⅗
P (E1) = ⅓ , P (E2) = ⅓ , P (E3) = ⅓
∴ P (A) = ⅓ . ⅖ + ⅓ . ⅕ + ⅓ . ⅗
∴ P (A) = ⅖
Теорема Байеса:
Рассмотрим пример, скажем, у нас есть 2 мешка. В первом мешочке 3 белых и 2 красных шара. Во втором мешочке 5 белых и 3 красных шара.
Предположим, мы хотим выяснить, какова вероятность того, что случайно выпавший шар окажется красным.
Это можно легко вычислить, используя правило полной вероятности.
Теорема Байеса вычисляет прямо противоположную вероятность обсуждаемого выше вопроса. То есть выпавший шар красный, и теперь нам нужно выяснить, какова вероятность того, что он будет вытянут из первого или второго мешка.
Если мы знаем условную вероятность P (A / B), мы можем использовать теорему Байеса, чтобы узнать обратную вероятность P (B / A).
Мы знаем это,
Поскольку A U B = B ∩ A, из уравнения A и C
Знаменатель теоремы Байеса вычисляется с использованием закона полной вероятности.
Вопрос 4: Вся продукция завода производится на трех машинах. На эти три машины приходится разный объем заводской продукции, а именно 20%, 30% и 50%. Доля произведенных дефектных изделий составляет: для первой машины 5%, для второй машины 3% и для третьей машины 3%. Если элемент выбран случайным образом из общего объема выпуска и обнаружен дефект, какова вероятность того, что он был произведен на третьей машине?
Решение. Пусть A, B и C будут тремя машинами для заводского вывода, а D будет событием, при котором выбранный элемент будет признан дефектным.
P (A) = 0.2, P (B) = 0.3, P (C)= 0.5
Нам нужно выяснить вероятность того, что он произведен третьей машиной, когда обнаруживается дефект элемента, то есть P (C / D) =?
P (D/A) = 0.05, P (D/B) = 0.03, P (D/C) = 0.01
Руководство:
И. Харшалл Ламба, доцент инженерного колледжа Пиллай, Нью-Панвел.
«Я хотел бы выразить свою благодарность Harshall Sir за руководство и техническую поддержку. Ваши отличные педагогические навыки и вежливый характер очень помогли мне на пути к написанию этой статьи. »
II. Дхирадж Амин, доцент инженерного колледжа Пиллай, Нью-Панвел.
