Предпосылки

  • Обратные матрицы |
  • Умножение матриц |
  • Элементарная матрица |
  • Матрица перестановок |

Хронология лекций | Ссылки

  • Лекция | 0:00
  • Что является обратным продуктом | 0:25
  • Обратная транспонированная матрица | 4:02
  • Как А связано с U | 7:51
  • Разложение 3x3 LU (без замены строк) | 13:53
  • L является произведением обратных | 16:45
  • Насколько дорого устранение | 26:05
  • Разложение LU (с обменом строк) | 40:18
  • Перестановки для обмена строками | 41:15

“A = LU – это БОЛЬШАЯ ФОРМУЛА устранения. Это отличный способ взглянуть на метод исключения Гаусса».

What's the Inverse of a product

Предположим, что все A & B являются обратимыми матрицами, так что же такое (AB)⁻¹?

Да, мы умножаем их инверсии вместе A⁻¹ & B⁻¹, но в каком порядке мы умножаем эти инверсии?
В ОБРАТНОМ ПОРЯДКЕ.
Получается:
(AB)(B⁻¹A⁻¹) = 𝐈 или (B⁻¹A⁻¹)(AB) = 𝐈. Они работают одинаково, получают одинаковый результат.

so:

(AB)⁻¹ = (B⁻¹A⁻¹)

Inverse of a Transposed Matrix

Итак, инверсия (Aᵀ)⁻¹ = (A⁻¹)ᵀ

LU Decompose (without Row Exhcnage)

"L – произведение инверсий".

L = E⁻¹, что означает, что L является обратным числом elementary matrix.

Предположим, что в процессе исключения без обмена строками мы применяем elementary matrices к матрице только одну за другой.
Таким образом, L будет обратной этих элементарных матриц, но в обратном порядке. .

EA = U
A = LU

Итак, описанные выше шаги представляют собой Inverse Elementary Matrices картину получения L.
Но на самом деле то, что мы получаем, очень просто наблюдать:
Если строки не меняются местами, множители переходят непосредственно в L.

Так как мы поняли значение, стоящее за этим, мы можем забыть об этом и просто помнить multipliers.

Row exchanges with Permutations

Для декомпозиции LU мы не можем представить обмен строк с помощью Elementary Matrices, но можем сделать это с помощью Permutation matrices.

Для матрицы идентичности 3x3 существует 6 ее перестановок:

Inverse of a Permutation – это Transpose:

-