Часть II - Краткий обзор взаимосвязей, значений и количественных показателей
Происхождение теории логики начинается с концепции аргумента. Большинство учебников логики содержат вводное, центральное определение аргумента, которое, вероятно, звучит примерно так:
Аргумент содержит одно или несколько специальных утверждений, называемых посылками, предлагаемых в качестве причины полагать, что следующее утверждение, называемое заключением, является истинным
Предпосылки - это атомы теории логики: все построено из них. Предпосылка - это декларативное утверждение, которое должно строго оцениваться как истинное или ложное. Единственная предпосылка называется примитивной предпосылкой - в США 50 штатов (что верно). Соединение нескольких помещений вместе образует комплексное помещение - в США есть 50 штатов, и сегодня в Майами пошел снег (что неверно). Как связать несколько утверждений? Как вы видите в предыдущем примере, с операторами, с которыми вы уже знакомы, но которые требуют своего собственного языка и синтаксиса.
Соединительные
Подобно другим разделам математики, у предпосылок есть свой собственный набор фундаментальных операторов (сложение, вычитание и т. Д.). В теории логики эту роль выполняют пять основных логических соединителей, вместе известных как соединительные элементы. Они кратко изложены в таблице ниже, предположим, что буквы P и Q обозначают две примитивные предпосылки:
Если вы знакомы с программированием на любом уровне, то весьма вероятно, что приведенная выше таблица покажется вам хотя бы смутно знакомой. Это связано с тем, что связки лежат в основе синтаксиса общеязыкового языка и почти всегда имеют специальный символ, назначенный для каждой связки (&& = и, | = или и т. Д.…).
Какая из пяти связок используется в качестве логического соединителя между двумя предпосылками, определяет общее значение истинности составного утверждения на основе значений истинности модифицируемых посылок. Здесь стоит выделить важный принцип, который на первый взгляд может показаться нелогичным: при анализе составных утверждений не необходимо знать, какие части P&Q на самом деле говорят, только то, являются ли эти части истинными или ложными.
Последствия
Из пяти связок одно сразу заслуживает дальнейшего изучения - это импликация, иначе говоря, если-то утверждения. Импликация является связкой со стандартной формой P → Q, где P известна как гипотеза (или антецедент), а & Q известна как заключение (или консеквент).
Хотя импликация имеет стандартную форму, определенную выше, существуют еще три распространенных типа условных выражений, которые стоит рассмотреть. Следующие четыре условных оператора являются простыми, но довольно распространенными и мощными составными операторами, созданными путем комбинирования условных операторов с введенными базовыми связками:
Условие само по себе является составной предпосылкой, то есть оно строго оценивается как истинное или ложное. Для любого импликации, как и для любой другой связки, значение истинности составной посылки определяется значениями истинности ее двух независимых посылок. В соответствии с определениями, введенными выше, например, импликация истинна либо, когда гипотеза ложна, или, когда вывод истинен; что оставляет только один путь для того, чтобы импликация была ложной: когда гипотеза верна, а заключение ложно.
Если мне показалось, что это сложно мысленно отслеживать, как это было со мной, тогда дышите спокойно и будьте уверены, что в ближайшем будущем появятся мощные инструменты, которые сделают анализ сложных условных выражений таким же простым, как следование плану. Основным инструментом, который мы будем использовать, является изящный инструмент logic-101 под названием таблицы истинности. Однако, прежде чем мы перейдем к таблицам истинности, давайте сделаем небольшой обходной путь, чтобы заполнить последний пробел в наших знаниях об основных обозначениях теории логики. Рассмотрите специфический сценарий - является ли следующее утверждение предпосылкой?
x больше десяти
Квантификаторы
Согласно нашему строгому определению, введенному в первом абзаце, предпосылка должна оцениваться как истинная или ложная - утверждение не может быть двусмысленным или оставаться открытым. Это означает, что переменные, какими мы привыкли их видеть со времен алгебры, в теории логики недопустимы; по крайней мере, без некоторых модификаций.
Утверждение, выделенное жирным шрифтом выше, не считается предпосылкой, поскольку x может быть 5 или 25, что делает утверждение истинным или ложным, но в настоящее время ни то, ни другое. Это, однако, не означает, что мы должны полностью удалить переменные из нашего набора инструментов. Есть способ использовать переменные; этот процесс называется количественной оценкой - хитроумным способом обозначения границ неизвестных переменных в логике. Взгляните на следующее заявление об обновлениях - теперь это предпосылка?
для всех x, x больше ста
Теперь, когда мы определили universe, o r домен переменной, утверждение больше не является двусмысленным - теперь оно является предпосылкой, поскольку оно оценивается как категорически ложный. Использование этого «для всех x» известно в теории логики как применение квантора. Есть два основных типа квантификаторов. Первый, который мы только что рассмотрели, удачно назван универсальным квантификатором. Обозначаемый перевернутой буквой «А», ∀, легко запомнить, что он обозначает А ll или все возможные экземпляры во вселенной сделанного утверждения. Осмотрите это второе изменение:
существует x больше ста
И снова, не удаляя переменные, мы нашли способ преобразовать утверждение в предпосылку, применив квантификатор, поскольку теперь выражение имеет строгое значение true. Этот второй тип квантификатора известен как квантификатор существования. Обозначается обратной буквой «E», ∃, обычно читается как «существует» или «есть». Оба квантификатора кратко описаны ниже:
К таблицам истины
Разобравшись с основными обозначениями, пришло время перейти к элементарной форме приложения с помощью таблиц истинности. В следующей части мы начнем с определения эквивалентности в логике; чтобы использовать таблицы истинности для анализа того, какие из четырех введенных нами условных операторов равны друг другу . Изучив несколько примеров утверждений, мы наконец перейдем к сути теории логики: доказательствам.
источники
