Интегрирование с использованием численных методов
Я ценю эту концепцию интеграции прежде всего потому, что среди методов, которые мы обсуждали в классе, это единственный метод, который рассматривает возможность устранения своих ошибок. Хоть и не все, но устранение очень хорошо помогает.
Прежде всего, давайте подойдем к этому, используя также подход сверху вниз. Сначала мы обсуждаем численное интегрирование в целом, а затем переходим к интегрированию Ромберга.
Численное интегрирование
Историческое прошлое
Чтобы понять причину названия, это необходимая часть.
Численное интегрирование также называется «числовой квадратурой» или «численной аппроксимацией определенных интегралов». Его название происходит от древних методов вычисления площадей изогнутых фигур, наиболее известной из которых является задача «возведения кругов в квадрат», что означает нахождение квадрата, имеющего такую же площадь, что и данный круг.
Основная мотивация
Численное интегрирование, как следует из названия, получает интеграл функции. Однако разве мы не знаем, как интегрировать (вспомните серию Math 50)? Верно, но помните также, что мы используем формулы для интегрирования, и не все функции, которые должны быть интегрированы, интегрируются с помощью этих формул. Это просто частные частные случаи.
Примеры интегралов, которые не интегрируются с помощью формул:
Они могут показаться такими простыми и не такими дикими, как интегралы, заполненные множеством интегралов, но тем не менее они недостижимы для специальных формул, которые мы представляли ранее.
Предположения и характер ответа
Мы устанавливаем предположения, чтобы не обсуждать их снова и снова. Кроме того, характер ответа, чтобы было понятно, какого ответа мы должны ожидать.
Предположения:
- Обычно интервал интегрирования считается конечным.
- По большей части предполагаем, что подынтегральное выражение ‘f’ непрерывное и гладкое
Характер ответа: «Мы ищем единственное число для ответа»
Это означает, что мы не ищем функцию или символьную формулу. Это отличает Числовую Квадратуру от решения дифференциальных уравнений, вычисления неопределенных интегралов и многих пакетов для символьных вычислений.
И последнее, прежде чем перейти к Ромбергу. Интеграл, как мы его знаем, представляет собой бесконечную сумму. Здесь мы приближаем бесконечную сумму к конечной сумме.
Теперь переходим к Ромбергу.
Предполагается, что перед тем, как прыгнуть сюда, вы уже освоили Правило Составной Трапеции. Хотя ниже мы обсудим еще одно предварительное условие.
Предпосылка: экстраполяция Ричардсона.
Главная мысль
Экстраполяция Ричардсона - это в основном простой метод повышения точности определенных численных процедур. Это устраняет ошибки. Хотя он может удалять только ошибки формы:
Вывод общей формы экстраполяции Ричардсона.
В этой части будет показано, как ошибка удаляется с помощью экстраполяции Ричардсона.
Предположения:
- У нас есть приближенные средства вычисления некоторой величины G
- Результат зависит от параметра «h», так что приближение g (h) определяется выражением: G = g (h) + E (h)
Правильный вывод:
МЕТОД: интеграция Ромберга.
Теперь, когда мы установили предпосылки, перейдем к главному.
Интеграция Ромберга
Интеграция Ромберга сочетает в себе правило составной трапеции с экстраполяцией Ричардсона.
Ниже представлен обзор процесса интеграции:
это именно то, что мы делаем
Это говорит нам о том, что нам нужно вычислить, откуда находятся две стрелки, чтобы вычислить, куда указывают две стрелки. Наиболее точной оценкой интеграла всегда является последний диагональный член массива. Этот процесс продолжается до тех пор, пока разница между двумя последовательными диагональными членами не станет достаточно малой.
Приведенный выше обзор можно резюмировать в формуле:
- CTR означает составное правило трапеции
Использование интегрирования Ромберга для вычисления интеграла
Сложив все необходимые инструменты, мы показываем, как ими пользоваться. Сначала мы представляем пример, а затем представляем предлагаемый общий процесс
Пример:
Сначала получаем все наши инструменты (формулы):
тогда мы получаем общую картину, которая представляет собой матрицу R выше, поскольку это то, что мы будем заполнять
Общий процесс
Таким образом, мы действительно можем увидеть предлагаемый шаблон решения. Мы резюмируем ниже:
Задача: используйте интеграцию Ромберга, чтобы оценить интеграл
Необходимая формула: составное правило трапеции и Ромберга
Процесс:
Совет: возьмите отдельный лист, содержащий матрицу R
- Вычислить h
- Вычислить первый столбец первых двух строк, используя CTR
- Вычислите следующие столбцы в этой строке, используя формулу Ромберга для i ›1
- Повторите шаги 1–3 для каждой строки, пока она не приблизится к необходимому решению.
Общий,
Численное интегрирование - это просто приближение интегралов, которое полезно для интегралов, которые не могут быть вычислены с помощью специальных формул. Один из методов - интеграция Ромберга. Из методов, которым обучали в классе, было замечено, что это единственный метод, который устраняет ошибки (хотя не все ошибки устраняются) за счет использования экстраполяции Ричардсона, как видно из вывода.
Хотя составное правило Симпсона 1/3 представляет собой составное правило трапеции и Ромбега, Ромберг по-прежнему имеет козырную карту своей эффективности, а также использует надежность составного правила трапеции.
