Обновление вероятности
Вероятность: определяется как мера вероятности того, что событие произойдет. Измеряется отношением благоприятного события к общему числу возможных событий. Вероятность определяется как число от 0 до 1 (где 0 означает невозможность, а 1 означает уверенность). Чем выше вероятность события, тем больше вероятность того, что событие произойдет.
Ключевые термины вероятности:
Эксперимент: Эксперимент с вероятностью — это проверка того, что произойдет, если вы что-то сделаете. Простой пример — подбрасывание монеты. Когда вы подбрасываете монету, вы проводите эксперимент, чтобы увидеть, какой стороной монеты вы окажетесь.
Случайный эксперимент. Эксперимент, результат которого должен быть среди набора полностью известных событий, но точный результат которого неизвестен, является случайным экспериментом (например, бросание игральной кости, подбрасывание монеты). Большинство вопросов о вероятности основаны на случайных экспериментах.
Результат. Под вероятностным исходом понимается один (один) результат эксперимента. В приведенном выше примере эксперимента одним результатом будет орел, а другим — решка.
Событие. Вероятностное событие — это совокупность группы различных результатов эксперимента. Предположим, вы подбрасываете монету несколько раз, примером события может быть получение определенного количества голов.
Несобытие: результат, противоположный желаемому результату, не является событием. Обратите внимание, что если событие происходит, то несобытие не происходит, и наоборот.
Выборочное пространство. Совокупность всех возможных результатов называется выборочным пространством вероятностного эксперимента.
Независимое событие. Два события называются независимыми, если исход одного из них не влияет на исход другого. Например, если мы бросаем два кубика, вероятность выпадения 6 на втором кубике одинакова, независимо от того, что мы выпадем на первом кубике, она по-прежнему равна 1/6.
Зависимое событие: когда вероятность одного события зависит от другого, такие события называются зависимыми событиями. Например, если у нас есть мешок, содержащий 2 красных и 2 синих шара. Если мы вытащим из мешка 2 шара, вероятность того, что второй будет синим, зависит от того, какого цвета был первый вынутый шар. Если первый шар был синим, то когда мы вытащим второй шар, в мешке будет 1 синий и 2 красных шара. Таким образом, вероятность получения синего цвета равна 1/3. Однако, если первый шар был красным, останется 1 красный и 2 синих шара, поэтому вероятность того, что второй шар будет синим, равна 2/3.
Взаимоисключающие события. Набор событий является взаимоисключающим, когда появление любого из них означает, что другие события не могут произойти. Для данного выборочного пространства это либо одно, либо другое, но не оба. Как следствие, вероятность взаимоисключающих событий определяется следующим образом:
P(A) + P(B) = 1
Примером взаимоисключающих событий являются результаты честного подбрасывания монеты. Когда вы подбрасываете честную монету, вы получаете либо орел, либо решку, но не оба, мы можем доказать, что эти события взаимоисключающие, сложив их вероятности.
P(head) + P(tail) = 1/2 + 1/2 = 1
Если A и B являются взаимоисключающими событиями:
P(A intersection B) = 0
P(A + B) = 1
P(A union B)' = 0
P(B|A) = 0
Равновероятные события. Если два события имеют одинаковую вероятность или шанс возникновения, они называются равновероятными событиями. (При броске костей шанс выпадения 1 на кубике равен 2 равен 3 равен 4 равен 5 равен 6 выпадению на кубике.)
Условная вероятность:-
Это вероятность возникновения события A
при условии, что событие B
уже произошло. Обозначается P(A/B)
. (Например, вероятность того, что за два броска игральной кости мы получим в сумме 7 или более, при условии, что при первом броске костей выпало число 5.)
Условная вероятность обозначается следующим образом: P(B|A)
Вероятность того, что B
произойдет при условии, что A
уже произошло
Вышеупомянутое математически определяется как:
P(B|A) = P(A intersection B)/P(A)
Концепция шансов за и шансов против:
Иногда вероятность также рассматривается с точки зрения шансов на событие и шансов против него.
Коэффициенты в пользу события E определяются как: P(E)/P(E)’
Коэффициенты против исхода определяются как: P(E)/P(E)’
Обозначение вероятности
пример пространства: S={A, B}
, где A и B — независимые события. пример S={head, tail}
Вероятность события A
записывается как P(A)
, p(A)
или Pr(A)
.
Вероятность того, что событие A
не произойдет, записывается как -A
, ~A
, A'
;
Его вероятность определяется выражением
P(not A) = 1 − P(A) = P(A)'
Теория множеств в вероятности:
Все выборочное пространство S определяется как:
S = {A, B, C}
Помните следующее из теории множеств:
C = (A union B)'
(A union B) = A + B - (A intersection B)
Правила вероятности:
For S = {A, B, C}
P(S) = P (A union B union C) = 1
- Правило умножения
(A∩B)
Если A и B являются зависимыми событиями, вероятность того, что это событие произойдет, может быть рассчитана, как показано ниже:
P(A intersection B) = P(A*B) = P(A.B) = P(A union B) - (P(A) + P(B))
Если A и B являются независимыми событиями, вероятность того, что это событие произойдет, можно рассчитать, как показано ниже:
P(A intersection B) = P(A*B) = P(A.B) = P(A) * P(B)
Условная вероятность для двух независимых событий может быть переопределена с использованием приведенного выше соотношения:
P(B|A) = P(A intersection B)/P(A)
P(B|A) = P(A) * P(B)/ P(A)
P(B|A) = P(B)
Аддитивное правило (A∪B):
P(A + B) = P(A union B)
P(A + B) = P(A) + P(B) - P(A intersection B)