Ранее мы рассмотрели основные идеи, лежащие в основе ряда Фурье, начиная с «Действительного ряда Фурье».
Расширение до «комплексного ряда Фурье».
В этой истории мы, наконец, перейдем к «преобразованию Фурье»!
Материалы, освещенные в этом рассказе
- Понимание контекста преобразования Фурье в отношении комплексных рядов Фурье
- Вывод преобразования Фурье.
Это будет очень важная тема, так что постарайтесь понять ее!
Опять же, основная часть выводов взята из лекций доктора Вима ван Дронгелена, и вы можете увидеть его лекцию онлайн ниже. Я добавлю больше контекста и некоторую информацию, чтобы вы могли понять эту тему более глубоко.
Понимание контекста преобразования Фурье в отношении комплексных рядов Фурье
Прежде чем перейти к фактическому значению преобразования Фурье (непрерывного), давайте сначала попытаемся понять взаимосвязь между тем, что мы уже знаем (комплексными рядами Фурье).
В сложных рядах Фурье, когда мы хотели преобразовать сигнал f (t) в частотную область, мы использовали эту формулу:
С другой стороны, возвращаясь к временной области, мы использовали эту формулу:
Вы выучите эквивалентные формулы в преобразовании Фурье за пару минут, но когда мы суммируем их в таблице, получается что-то вроде этого.
Здесь я хочу указать на исходные допущения в каждом уравнении. Например, если вы посмотрите на верхнюю левую формулу, которая представляет собой версию Комплексного ряда Фурье для функции «Время -› преобразование в частотную область », вы заметите, что она интегрируется с течением времени« t »для полного периода. Здесь мы имеем дело с функцией «Непрерывный». С другой стороны, если вы посмотрите на правую часть, где у вас есть частота - ›преобразование во временную область, теперь вы увидите сигму операции суммирования. Это «Дискретная» операция.
Точно так же, если вы теперь сосредоточитесь на «периодичности», единственная формула, которая имеет периодичность, - это версия времени для комплексного ряда Фурье - ›преобразование в частотную область, потому что если вы посмотрите на диапазон, в котором выполняется интеграция, это полный период. Все остальные уравнения либо интегрируют, либо суммируют от минус бесконечности до бесконечности.
Подводя итог, таблица выглядит так.
Теперь я надеюсь, что у вас есть другой взгляд на различные типы преобразования «время в частоту».
Я вернусь к этому еще раз с полным списком после рассмотрения «Дискретного преобразования Фурье», но вывод состоит в том, что если вы учтете
- «Непрерывный» и «дискретный» (2 возможных варианта)
- «Периодический» и «апериодический» (2 возможных варианта)
есть 2 x 2 = 4 возможных комбинации. Вот почему существует 4 различных типа «преобразования Фурье» для каждого случая. Теперь вы можете ответить, почему существует так много разных типов «преобразования Фурье»!
Хорошо, этого достаточно, чтобы понять контекст. Перейдем к основной части, где мы выводим формулу непрерывного преобразования Фурье.
Вывод преобразования Фурье.
Посмотрите таблицу, которую мы только что обсудили. Мы пытаемся сделать шаг от «комплексного ряда Фурье» к «преобразованию Фурье» во временной области частот. Какая разница? Да это правильно. «Периодичность». Таким образом, вы могли бы сказать, что если вы расширите «Комплексный ряд Фурье» с периодического на непериодический, это будет «(Непрерывное время) преобразование Фурье».
Попробуем это визуализировать. Раньше мы имели дело только с периодическим сигналом. Теперь, чтобы перейти к непериодической области, мы собираемся просто взять полный период периодического сигнала f (t), а затем растянуть этот период до бесконечности.
Вы уловили идею? Другими словами, если есть единственный сегмент сигнала от минус бесконечности до бесконечности, этот сигнал определенно апериодический, потому что он не повторяется снова и снова.
Но как это выразить уравнением?
Давайте вспомним формулу из «Комплексного ряда Фурье».
Теперь мы хотим взять полный период точно так же, как то, что мы видели в виде изображения. (Не беспокойтесь о делении буквы «Т», поскольку мы собираемся учесть это в более поздней части уравнения.)
Теперь мы определим новую букву «c», установив предел до бесконечности. Это та часть, где мы растянули извлеченный сегмент сигнала.
Здесь мы могли бы рассматривать умножение «n» на «omega_0» как новую непрерывную переменную под названием «omega», как если бы вы помните, что «n» идет от минус бесконечности к бесконечности, а «omega_0» стремится к 0.
Теперь у нас есть формула для «преобразования Фурье»! Это формула для преобразования сигнала временной области в сигнал частотной области. Напоминаем, что это имеет дело с «непрерывной» функцией и больше не является периодической, как указано в уравнении.
И последнее уравнение, которое нужно вывести для этой истории. Возвращаясь к уравнению из «Комплексного ряда Фурье».
Используя уравнение «Преобразование Фурье», которое мы только что вывели, мы можем изменить это уравнение на следующее.
Теперь мы вставляем это обратно в уравнение «Комплексный ряд Фурье» для частоты - ›Уравнение во временной области ниже.
Ниже представлена небольшая модификация, ведущая к конечной цели.
Теперь мы устанавливаем границы.
Используя указанные выше ограничения, мы получаем
И, наконец, у нас есть «обратное преобразование Фурье»! Это уравнение для повторного преобразования из частотной области во временную область. Обратите внимание, что это также «Непрерывный» и «Апериодический», как мы обсуждали в начале рассказа.
Резюме
Подводя итог, можно сказать, что взаимосвязь между «Комплексным рядом Фурье» и «Преобразованием Фурье» выглядит следующим образом:
Иногда «Преобразование Фурье» обозначается как «FT», а обратное - как «IFT».
А формула «FT» такова:
«IFT»:
Вот и все! В следующий раз мы рассмотрим «Дискретное преобразование Фурье»!
Надеюсь, это поможет! Увидимся в следующий раз ~
