Прежде чем перейти к этой статье, обратите внимание, что эти истории представляют собой серию «На пути к пониманию линейной алгебры», и я советую вам сначала взглянуть на части 1 и 2. Очень важно, чтобы вы действовали шаг за шагом, чтобы убедиться, что вы понимаете каждую из фундаментальных концепций, прежде чем переходить к более сложным темам.
При этом, давайте приступим!
Материалы, описанные в Части 3:
В этой статье мы собираемся охватить еще несколько фундаментальных понятий линейной алгебры. Это будет последняя статья, в которой будут рассмотрены основы, и мы перейдем к более продвинутым концепциям линейной алгебры из следующей статьи, где будут объединены все основы, которые мы рассмотрели до сих пор в частях 1–3. Так что советуем вам понять, что мы изучали до сих пор!
- Линейная независимость
- Охватывать
- Основа
- 4 фундаментальных подпространства
- Ортогональность
Введение в линейную независимость
Во-первых, давайте поговорим о «линейной независимости». Мы говорим, что векторы независимы, если их линейные комбинации не дают нулевого вектора, кроме случаев, когда все коэффициенты равны нулю. Если бы мы записали это в уравнениях, это выглядело бы так:
где x - векторы, c - коэффициенты. Даже если бы вы могли придумать одну комбинацию, которая могла бы сделать уравнение нулевым, тогда векторы не являются независимыми.
Давайте рассмотрим пример, чтобы понять эту концепцию.
Случай 1 - это независимый случай, когда два из рассматриваемых нами векторов не зависят друг от друга. Это означает, что единственное пересечение между этими двумя векторами находится в начале координат. Это происходит только тогда, когда мы умножаем оба вектора на 0 (ноль).
С другой стороны, случай 2 не является независимым. Мы можем найти множество пар коэффициентов для пересечений. Это может быть c1 = 1 и c2 = -1, как в примере выше, так что x1 = -x2. Это может быть -x1 = x2 с c1 = -1 и c2 = 1. Поскольку мы можем найти коэффициенты с ненулевыми значениями, которые могут заставить векторы компенсировать друг друга, мы называем эти случаи независимыми.
Введение в span
Мы говорим, что векторы охватывают пространство, когда пространство состоит из всех линейных комбинаций векторов.
Давайте посмотрим на простой пример. Допустим, у вас есть вектор x следующим образом. Размах этого вектора - красная линия, представленная на рисунке:
Почему? Потому что, если вы подумаете обо всех линейных комбинациях, мы можем взять любой коэффициент при x. Это может быть 1 или -2, 5 или 2,3, что угодно. Но если вы нарисуете эти точки, представленные разными коэффициентами, все это будет лежать на красной линии. По сути, мы растягиваем вектор, чтобы увидеть, какое пространство он нам дает. Это промежуток в линейной алгебре.
Введение в базу
Теперь вы знаете линейную независимость и интервал. Затем давайте познакомим вас с еще одной новой концепцией под названием «основа».
Основание по его определению очень легко понять, если вы понимаете концепции, которые я только что объяснил.
Основа для пространства - это последовательность векторов, которые:
- Линейно независимый
- Распространяйте пространство
Например, основа может быть примерно такой:
Для «диапазона» и «основы» есть отличное видео, наглядно демонстрирующее эти концепции, и я настоятельно рекомендую вам посмотреть его как минимум 2 раза!
Видео является частью серии видео: Суть линейной алгебры от 3Blue1Brown, так что не стесняйтесь потратить некоторое время на просмотр всех видео. Они удивительны!
Введение в 4 фундаментальных подпространства
Давайте попробуем объединить некоторые концепции, которым мы уже научились, чтобы связать знания друг с другом. Здесь я собираюсь объяснить около 4 фундаментальных подпространств:
- Колонка
- Nullspace
- Место в строке
- Левое пустое пространство
Мы уже изучали каждое из этих подпространств в предыдущих статьях. Но здесь я пытаюсь связать каждую из этих концепций вместе, основываясь на измерениях.
Надеюсь, вы помните, что такое ранг. Если нет, вернитесь к Части 2, чтобы проверить это еще раз. Короче говоря, ранг равен количеству точек поворота в матрице. Мы называем это полным рангом, когда ранг равен максимальной размерности (строка или столбец, в зависимости от того, что меньше) матрицы. Мы называем это недостаточным рангом, если матрица не имеет полного ранга.
Здесь мы рассматриваем случай с недостаточным рангом. Предположим, что ранг матрицы равен «r», и у вас есть «m» строк и «n» столбцов.
Когда мы думаем о пространстве строк, ранг пространства строки равен «r», поскольку это количество имеющихся у нас опорных точек. Но помните, когда мы в прошлый раз говорили о свободных переменных? Поскольку мы думаем о случае недостаточного ранга, n ›r. Это означает, что в матрице есть несколько свободных переменных! Конечно, они находятся в нулевом пространстве, поэтому размер нулевого пространства = количество свободных переменных = n - r.
То же самое и с пространством столбцов. За исключением этого случая, чтобы различать пустое пространство строки, мы называем пустое пространство для пространства столбца «левое пустое пространство».
Введение в ортогональность
Хорошо, это был довольно долгий путь, но вот последние фундаментальные концепции, которые вам нужно изучить. Эта концепция также очень важна и в то же время очень полезна, поэтому давайте попробуем понять ее полностью!
Во-первых, давайте начнем с определения и того, почему это так.
Это было довольно просто! Итак, чтобы уравнение Пифагора удовлетворялось, нам нужно, чтобы уравнение, указанное в красной рамке, было выполнено. Это уравнение показывает ортогональность, и оно очень полезно, поскольку мы можем стереть ортогональный член при вычислении сложного уравнения.
Резюме
- Линейная независимость
Векторы независимы, когда мы не можем найти линейную комбинацию, которая в сумме дает нулевой вектор, кроме того, что все коэффициенты равны нулю.
- Охватывать
Охват пространства означает, что пространство состоит из всех линейных комбинаций векторов.
- Основа
Основа для пространства - это последовательность векторов, которые: 1) линейно независимы, 2) охватывают пространство.
- 4 фундаментальных подпространства
Четыре основных подпространства: 1) пространство столбцов, 2) пространство строк, 3) пустое пространство, 4) левое нулевое пространство.
- Ортогональность
Два вектора ортогональны друг другу, когда умножение этих векторов равно нулю.
Надеюсь, это поможет! Увидимся в следующий раз!
Если вы обнаружите какие-либо ошибки, пожалуйста, дайте мне знать, чтобы я мог их исправить.
