Интуитивное объяснение ожидаемого значения на простых примерах с использованием игр

Ожидаемое значение - это среднее значение случайной величины по большому количеству экспериментов. Случайная переменная сопоставляет числовые значения каждому возможному результату эксперимента. Мы можем вычислить ожидаемое значение для дискретной случайной величины - той, в которой можно подсчитать количество потенциальных результатов, - взяв сумму, в которой каждый член представляет собой возможное значение случайной величины, умноженное на вероятность этого результата. Так, например, если бы нашей случайной величиной было число, полученное броском правильного 3-стороннего кубика, ожидаемое значение было бы (1 * 1/3) + (2 * 1/3) + (3 * 1/3) = 2.

Если мы предположим, что эксперимент является игрой, случайная переменная сопоставляет результаты игры с суммами выигрыша, и ее ожидаемое значение, таким образом, представляет собой ожидаемый средний выигрыш в игре. Поскольку ожидаемое значение охватывает действительные числа, оно обычно делится на отрицательные, нейтральные и положительные значения. Игры с каждым типом ожидаемого значения часто встречаются в реальных сценариях, поэтому ожидаемое значение обеспечивает простую эвристику для принятия решений.

Чтобы проиллюстрировать каждый тип игры, я буду использовать 3 похожих примера, включающих подбрасывание монеты, поэтому, чтобы быть точным, случайная переменная в каждом сценарии - это ожидаемый выигрыш от однократного подбрасывания монеты. Предположим, что в любом случае монета справедливая, поэтому орел и решка равновероятны с вероятностью 1/2.

Игры с нейтральным ожидаемым значением

You flip the fair coin. Every time you get heads, you lose $1, and every time you get tails, you gain $1.

Ожидаемое значение в этом сценарии составляет (-1 * 1/2) + (1 * 1/2) = 0. Таким образом, поскольку монета справедлива и сумма убытка равна сумме прибыли, вы не ожидаете ни выигрыша, ни проигрыша. деньги со временем. В такой игре, хотя нет причин играть, также нет причин не играть. Таким образом, эти типы игр идеально подходят для простого отдыха, например, с камнем, ножницами, бумагой, в которых случайный выбор хода является оптимальной стратегией с ожидаемым выигрышем, равным 0.

Игры с положительным математическим ожиданием

You flip the fair coin. Every time you get heads, you lose $1, and every time you get tails, you gain $2.

Ожидаемое значение в этом сценарии составляет (-1 * 1/2) + (2 * 1/2) = 1/2. Поскольку вероятность орла и решки одинакова, больший выигрыш решки перевешивает потерю решки. Ожидается, что в такой игре вы со временем будете зарабатывать деньги, поэтому вам следует играть в этот тип игры. Сценарии такого типа проявляются во многих реальных решениях, таких как инвестирование в фондовый рынок (рынки имеют общий восходящий тренд с течением времени), подготовка к экзамену (несколько часов потерянного времени перевешиваются более высоким средним баллом), или подготовка к собеседованию (несколько недель потерянного времени перевешиваются преимуществами получения лучшей работы).

Игры с отрицательным ожидаемым значением

You flip the fair coin. Every time you get heads, you lose $1, and every time you get tails, you gain $1. Additionally, there is a $0.01 fee for every flip regardless of the outcome.

Ожидаемое значение в этом сценарии составляет (-1,01 * 1/2) + (0,99 * 1/2) = -0,01. Таким образом, несмотря на то, что сама монета является справедливой, а сумма проигрыша равна сумме выигрыша, постоянная плата приводит к тому, что игра становится игрой с отрицательной оценкой. Ожидается, что в такой игре вы со временем потеряете деньги, поэтому вам не следует играть в этот тип игры. Это распространено на многих игровых платформах, на которых изначально игра является нейтральной, но затем взимается комиссия, которая нарушает нейтралитет игры (отсюда и поговорка, что «казино всегда выигрывает»).

Заключение

Обдумывание решений с точки зрения ожидаемой ценности - это простой способ решить, есть ли экономическая причина для участия в какой-либо деятельности. Конечно, есть способы измерить полезность, отличные от чисто экономического вознаграждения, поэтому ожидаемая выгода не является надежным инструментом для принятия решений. Кроме того, имейте в виду, что ожидаемое значение работает для большого количества повторных испытаний, поэтому это может привести к искаженному представлению об определенных событиях, в которых некоторые возможности очень редки. Например, рассмотрите возможность выигрыша в лотерею. Это вполне может быть возможностью с положительной ожидаемой стоимостью, но вероятность того, что вы действительно осознаете эту ценность в течение вашей конечной жизни, настолько мала, что покупать лотерейные билеты не стоит.