Биномиальное распределение — это количество успешных попыток в n. Это сумма n случайных величин Бернулли.
Время ожидания r-го прибытия соответствует гамма-распределению. Гамма-распределение представляет собой сумму экспоненциальных случайных величин.
То, что вы наблюдали в анимациях на прошлой неделе, и то, что вы видели сейчас для бинома и гаммы в качестве примеров, заключается в том, что сумма случайных величин стремится к определенной форме (функции распределения).
Это наблюдение является «центральным» в теории вероятностей.
Она называется Центральная предельная теорема.
Впервые это доказал французский математик Абрахам де Муавр в начале 1700-х годов. Он показал это в одной из глав своей диссертации Доктрина случайностей. Страница 243: Метод аппроксимации суммы членов бинома, развернутого в ряд, из которого выводятся некоторые практические правила для оценки степени согласия, которая должна быть дана экспериментам.»
Как видите, он получил полезные приближения к биномиальному ряду. Представьте себе вычисление факториалов для больших значений n в те времена.
Оказывается, биномиальное распределение можно очень точно оценить с помощью функции нормальной плотности.
Я составил современную версию этого вывода. Он длинный со всеми шагами.
Пожалуйста, НАЖМИТЕ ЗДЕСЬ, чтобы прочитать и понять подробности.
Следуйте за ним до конца. Вам будет приятно увидеть, как Биномиальное сходится в пределе к этому симметричному распределению.
Большинство распределений вероятностей так или иначе связаны с независимыми следами Бернулли (корневыми событиями). Если вы внимательно посмотрите на функции распределения вероятностей для каждой из них и доведете их до предела, вы увидите, как нормальное распределение становится предельным распределением.
Вот почему это нормально.
ИНТУИЦИЯ ИЗ СВЕРТКИ
Очень интуитивно понятный и элегантный способ понимания центральной предельной теоремы и того, почему форма колокола возникает из-за сходимости в центре распределения, представлен в главе 9 (предсимптотика и центральный предел в реальном мире) Silent Risk, технические примечания по Вероятность Нассима Николаса Талеба.
Суть в следующем.
Мы выводим функцию распределения для суммирования случайных величин. Из урока 46 вы знаете, что это свертка.
Свертка — это умножение функций.
Распределение вероятностей взвешивается с использованием другой функции. Когда мы повторяем это по индукции, мы сглаживаем функцию в центре, пока она не приобретет колоколообразную форму, а хвосты не станут тонкими.
Прочтите оставшуюся часть урока, в которой также есть анимация того, как свертка однородных случайных величин быстро сходится к нормальной плотности, а свертка случайных величин Пуассона — нет.
Если вы найдете это полезным, ставьте лайк, делитесь и подписывайтесь.
Вы также можете подписаться на меня в Medium и Twitter @realDevineni, чтобы быть в курсе новых уроков.
