"Математика"
Известные современные математические задачи: гипотеза Каталана
Два десятилетия назад наконец была доказана одна из самых известных проблем теории чисел.
Недавно я запустил образовательный информационный бюллетень, посвященный ИИ, у которого уже более 100 000 подписчиков. TheSequence — это информационный бюллетень, ориентированный на машинное обучение, без BS (то есть без шумихи, без новостей и т. д.), чтение которого занимает 5 минут. Цель состоит в том, чтобы держать вас в курсе проектов машинного обучения, научных работ и концепций. Пожалуйста, попробуйте, подписавшись ниже:
Продолжая нашу серию статей об известных математических задачах в этом году, мы хотели бы обсудить очень простую задачу теории чисел, которая была решена всего два десятилетия назад. Эта проблема известна как гипотеза Каталана и была сформулирована бельгийским математиком Эженом Шарлем Каталаном в 1844 году.
Тезис гипотезы удивительно прост и выражает, что целые числа 2 ^ 3 и 3 ^ 2 являются единственными двумя последовательными натуральными числами в степени. Выражая гипотезу в более формальной математической номенклатуре, получаем примерно следующее:
Несмотря на то, что формальная гипотеза была сформулирована в 1844 году, существуют ранние итерации подобных идей. Французский еврейский математик Леви бен Герсон (Герсонид) доказал аналогичную идею, но только для степеней 2 и 3.
Первый важный прогресс в гипотезе Каталана был достигнут в 1976 году, когда голландский математик Роберт Тайдеман доказал, что если гипотеза неверна, то она имеет лишь конечное и небольшое число исключений. Дальнейший прогресс подтвердил гипотезу для астрономически больших чисел, но общего доказательства не было найдено до начала 2000-х годов.
В 2002 году, спустя 158 лет после первоначальной публикации, румынский математик Преда Михайлеску представил общее доказательство гипотезы Каталонца. Сначала Михайлеску разослал копии доказательства нескольким математикам, и работа была наконец принята и опубликована в Crelle’s Journal в 2004 году. В доказательстве использовалась очень сложная область алгебраической теории чисел, известная как циклотомические поля.
Гипотеза Каталана кажется невероятно простой, но имеет глубокие последствия в различных областях, таких как строительство, инженерия и даже физика. Тем не менее доказательство Михайлеску считается одним из величайших математических достижений последних двух десятилетий.
