Объяснение статистических моментов и способов их получения с использованием функций генерации моментов.

Введение

В этом посте мы обсудим идею моментов в статистике (с точки зрения физики это было трудно принять!) и почему они важны. После этого мы покажем простой метод расчета моментов с помощью функций генерации моментов.

Что такое моменты?

Короче говоря, моменты описывают местоположение, форму и размер распределения вероятностей.

Ниже приведен список первых 4 моментов:

  1. Среднее (центральная тенденция)
  2. Дисперсия (разброс)
  3. Асимметрия (Асимметрия)
  4. Эксцесс (склонность к выбросам)

Существует также нечто, называемое нулевым моментом, который в основном говорит о том, что площадь при любом распределении вероятностей равна 1.

Большинство из вас должно знать, что означают четыре вышеуказанных параметра для дистрибутива. Если вы не слишком знакомы, я предоставил ссылки, которые объясняют их, поскольку их довольно легко понять, особенно для нормального распределения.

Первый момент (средний) считается нецентрированным моментом, тогда как остальные три являются центрированными моментами, поскольку они связаны со средним значением. Это не так важно, но приводит к некоторым запутанным нюансам.

Моменты более высокого порядка также существуют и просто предоставляют больше информации об асимметрии и эксцессе распределения. Нечетные усиленные моменты позволяют вывести информацию об асимметрии, а даже усиленные моменты позволяют вывести информацию об эксцессе. Здесь приведена отличная дискуссия StatExchange, объясняющая, почему это так.

Расчет моментов

Первый момент E[X] (математическое ожидание случайной величины X, среднее значение) можно рассчитать следующим образом:

Где f(x) – это функция плотности вероятности некоторого распределения вероятностей, например нормального, пуассоновского, гамма- и т. д. . Эта формула исходит из Закона бессознательного статистика.

Приведенный выше интеграл кажется достаточно простым для интегрирования, а как насчет второго момента? Дисперсия может быть рассчитана следующим образом:

Эксцесс и асимметрия могут быть дополнительно рассчитаны с использованием интегралов ожидаемых значений, но это быстро усложняется.

В общем случае формула для расчета нецентрированного момента выглядит следующим образом:

И для центрального момента:

Интеграл дисперсии кажется довольно простым, хотя и более сложным, чем первый момент. Таким образом, можно видеть, что в конечном итоге возникнет проблема, когда интегралы станут слишком сложными, чтобы их можно было легко вычислить. Поэтому нам нужна альтернатива….

Генерирующие функции моментов

Именно здесь вступают в дело функции, генерируемые моментом (MGF)! Они буквально генерируют моменты и определяются как:

Где t — некоторая фиктивная переменная, которая позволяет нам легко вычислять моменты.

Теперь, чтобы найти ожидаемые значения (моменты), мы просто находим производную MGF и устанавливаемt = 0:

Отсюда следует, что:

Почему это правда?

Мы можем доказать приведенные выше формулы, используя ряд Маклорена (подмножество ряда Тейлораоколо 0) экспоненциала (число Эйлера):

Затем подставьте это уравнение обратно в производящую функцию момента:

Теперь продифференцируем по t и установим t = 0:

Где мы показываем, что первая производная равна среднему (ожидаемому значению)! Гораздо проще вычислить (как вручную, так и на компьютере) производные, чем интегрировать n -раз.

Пример нормального распределения

Давайте рассмотрим пример с использованием нормального распределения. Функция плотности вероятности задается следующим образом:

Где µ – это среднее значение, а σ – это стандартное отклонение<. /strong> заданного нормального распределения.

Можно показать, что производящая функция момента для нормального распределения:

Я не включил вывод в эту статью, так как он исчерпывающий, но вы можете найти его здесь.

Взяв первую производную и установивt = 0:

Мы находим среднее значение нормального распределения, которое равно μ, как мы и ожидали.

Заключение

Моменты описывают, как расположение (среднее), размер (дисперсия) и форма (асимметрия и эксцесс) функции плотности вероятности. Функции, производящие моменты, позволяют нам вычислять эти моменты, используя производные, с которыми гораздо проще работать, чем с интегралами. Это особенно полезно, поскольку функции плотности вероятности могут быть сложными, и часто легче выполнять вычисления с функциями генерации моментов.

Свяжись со мной!

(Все эмодзи разработаны OpenMoji — проект эмодзи и иконок с открытым исходным кодом. Лицензия: CC BY-SA 4.0)