Как и все искусственные машины, такие как двигатель внутреннего сгорания и автоматический пулемет, «вычислительная» машина также была задумана для удовлетворения очень специфической потребности. Несмотря на потребительские приложения, возможно, было бы справедливо обобщить компьютер как устройство для обработки информации способом, который часто оказывается трудным, неудобным или требует слишком много времени для человеческих способностей.

Это, конечно, неразрывно подводит нас к более актуальному вопросу о том, что такое «информация» и как именно мы ее «обрабатываем»? Несмотря на то, что мы эвристически воспринимаем идеи как связный поток мыслей, человеческое познание в первую очередь опирается на процесс дискретной реляционной дедукции, чтобы понять среду, в которой оно находится. Хотя наши глаза могут воспринимать радугу, например, как непрерывный градиент от красного до фиолетового, мы, тем не менее, вынуждены использовать дискретную систему ограничений, чтобы понимать и обрабатывать эту цветовую информацию на когнитивном уровне.

Обращаясь к вездесущей цветовой системе RGB в качестве более осязаемого примера, где цвет определяется с точки зрения его красного, зеленого и синего компонентов соответственно, можно наблюдать нашу зависимость от дискретных точек отсчета, чтобы определить одну цветовую сигнатуру по отношению к этому. другого. Равномерно разделив каждый из трех цветовых компонентов на шестнадцать дискретных приращений (см. рисунок 1), мы видим, что каждый из них может быть впоследствии передан как относительный счет этой 1/16 квантованной единицы. После ознакомления с абсолютным весом одной 1/16 единицы интуитивно становится тривиальным использование кратного этой дискретной единицы для описания относительной интенсивности определенного цвета (см. рис. 2).

В самом деле, описываем ли мы цвет, меру, счет или язык, необходимость единицы (или дискретной точки отсчета) действительно лежит в основе внутренней механики человеческого разума. Без ссылки на фискальную стоимость монеты, например, чем мы можем измерить относительную ценность покупки: это сделка или грабеж среди бела дня? Аналогичным образом, без привязки к нашей предопределенной единице измерения 1/16, триплеты цветов RGB, представленные на рисунке 2, не имеют метрики, на основе которой можно утверждать какое-либо различимое значение — они по сути бессмысленны.

Хотя концепция единицы вряд ли шокирует или удивит большинство читателей — нас всех учат единицам измерения времени, расстояния и веса в раннем возрасте — было бы упущением не обратиться к пресловутому слону, который, кажется, трубит в яркую трубку. несоответствие между исходным и квантованным градиентами, изображенными на рисунке 1. Между ними есть четкие визуальные различия, но что именно произошло с кажущейся непрерывностью градиента, когда мы разделили его диапазон на шестнадцать равных частей? Возможно, неудивительно, что с небольшой помпой или суетой значения градиента, которые охватывают соседние единицы, не представляются и не могут быть представлены в этом квантованном цветовом пространстве — непредставленные значения просто округляются до ближайшей 1/16 единицы.

Конечно, если шестнадцати дискретных значений недостаточно для передачи точности конкретного изображения, мы всегда можем увеличить цветовое разрешение, используя меньшую единицу, такую ​​как 1/32 или 1/64 (см. рис. 3), но есть ли способ? квантования градиента, чтобы округление между единицами вообще не происходило? Или, другими словами, какова точная единица измерения, которая позволила бы нам квантовать каждое значение интенсивности, расположенное по всему градиенту? К сожалению, короткий ответ таков: его нет.

Как и во всех природных явлениях, которые можно измерить в физической вселенной, цветовой градиент возникает в недискретном или аналоговом континууме, где каждая интенсивность представляет собой безразмерную сингулярность, расположенную в диапазоне подразумеваемых ограничений (от нуля до полной интенсивности в данном конкретном случае). . И наоборот, чтобы установить точку отсчета, от которой зависят наши когнитивные способности, процесс квантования включает формулировку произвольной единицы (кванта), размерность которой (ud) всегда определяется как абсолютное расстояние между двумя дискретно выбранными сингулярностями (P0-›P1) (см. рис. 4). В отличие от этих нульмерных сингулярностей, которые служат для определения своих границ, дискретно формулируемая единица должна получать свое значение из материального измерения, которое всегда делится на итеративно меньшие части — без измерения. , ни одно кратное выбранной нами единице никогда не охватит всю длину градиента (от нуля до полной интенсивности). Взяв, например, (ud) в качестве единицы измерения, нетрудно представить себе новую единицу измерения (ud/2), (ud/3), (ud/4), до бесконечности (см. рисунок 5). Проще говоря, если квантование всегда дает единичное измерение (ud), и это измерение неявно представляет промежуток непредставленного континуума — только кратные (ud ) представлены в квантованной системе — тогда квантование всегда будет давать дискретную метрику, которая не может быть репрезентативной для всего континуума.

Для тех, кто уже знаком с графическим программированием как на геометрическом, так и на растровом уровне, квантованное материальное измерение не должно представляться совершенно незнакомой парадигмой. Например, при проверке наличия пересекающихся прямоугольников R1 и R2 в геометрической области обычно выполняется следующий расчет, предполагая перевернутую декартову ось Y:

IF (R1.RIGHT <= R2.LEFT) OR
   (R1.LEFT >= R2.RIGHT) OR
   (R1.BOTTOM <= R2.TOP) OR
   (R1.TOP >= R2.BOTTOM) THEN
  INTERSECTION = FALSE
ELSE
  INTERSECTION = TRUE

Однако при выполнении той же проверки в домене растрового изображения вычисление должно быть переписано следующим образом:

IF (R1.RIGHT < R2.LEFT) OR
   (R1.LEFT > R2.RIGHT) OR
   (R1.BOTTOM < R2.TOP) OR
   (R1.TOP > R2.BOTTOM) THEN
  INTERSECTION = FALSE
ELSE
  INTERSECTION = TRUE

Это очевидное несоответствие возникает из-за того, что растровые координаты, в отличие от их геометрических аналогов, которые представляют ограничивающие особенности R1 и R2, по существу квантуются с ощутимым размером, равным размеру одного пикселя. Следовательно, поскольку каждая пара координат x/y также представляет собой осязаемую (размером с пиксель) область внутри самого растрового пространства, они должны принадлежать исключительно либо R1, либо R2, когда ни один прямоугольник не пересекает другой. Та же аналогия верна и при рассмотрении квантованной метрики, ранее представленной на рисунке 2: поскольку нулевое значение представляет осязаемое измерение внутри самого градиентного пространства, у нас остается только 15 единиц для квантования всего диапазона ненулевых значений. . Следовательно, квантованный градиент увеличивается в единицах 1/15, а не 1/16, как можно было бы ожидать.

Имея это в виду, более проницательный читатель может подумать о представлении градиента в виде десятичной единицы в диапазоне от 0 до 1: если 0 = нулевая интенсивность и 1 = полная интенсивность, то любая заданная интенсивность (i) может быть представлен в виде десятичной дроби (0 ‹= i ‹= 1). Хотя поначалу это может показаться интуитивно надежным подходом (повторяющаяся десятичная дробь — знакомая идиома), сама наша система счисления защищена от необходимости и разветвлений квантования не более, чем любые другие наши когнитивные функции. Если релятивистскому человеческому разуму нужно осознать ценность, он должен вывести значение через понятие единицы, но, как мы уже продемонстрировали, простое существование этой единицы имплицитно исключает часть континуума.

На протяжении столетий человечество использовало множество методов, чтобы манипулировать ценностями и передавать их (см. рис. 6), и, хотя их внешний вид и механика часто совершенно несопоставимы, все они имеют одно очень важное свойство.

Несмотря на то, что наша современная арабско-десятичная система получила значительное распространение благодаря своему относительно небольшому алфавиту и позиционной симметрии — сложение, вычитание, деление и умножение сводятся к поразрядным операциям, когда соседние столбцы арифметически симметричны — все системы счисления представленные на рис. 6, тем не менее основаны на единственном неизменном принципе: «целая единица» или «единица». Поэтому, по крайней мере, с точки зрения квантования, мы можем рассматривать эти системы счисления как принцип или единичный случай, где единичное измерение (ud) всегда равно 1 (см. рис. 7). ). Это, конечно, очень хорошо работает для целых величин — целые числа всегда делятся на 1 и на себя — настолько, что на самом деле трудно представить систему счисления общего назначения, которая не использует 1 в качестве единицы измерения.

Однако, как и во всех квантованных системах, единичная мера фактически представляет собой нерушимый квант, на основе которого выводятся все последующие значения, и однажды на месте не может быть пересмотрена или нарушена без ущерба для целостности всей метрики. Кроме того, чтобы поддерживать соизмеримую связь с окружающей системой, репрезентативные значения могут быть определены только в терминах целочисленного подсчета квантованных единиц. Следовательно, для систем счисления, основанных на «целой единице», где (ud) всегда равно 1, мы должны тщательно соблюдать эти критерии при представлении значений субъединиц, которые не являются целыми кратными. размерности единицы.

Хотя поначалу это может показаться невыполнимой задачей — интуитивно невозможно представить числа субъединиц, не разбивая единицу на более мелкие части, — умные люди прошлых лет решили эту проблему много веков назад, используя метод, который мы сейчас называем «рациональными числами». Ссылаясь на концепцию целочисленного деления, можно предположить существование меньшей единицы, используя целые числители и знаменатели, которые неявно поддерживают отношение единиц с базовой системой счисления — оба остаются делящимися на 1 и сами на себя. Например, если мы хотим представить число, которое оказывается равным трем четвертям единичной размерности, нам нужно только обозначить неявное деление 3/4, чтобы удовлетворить как ценностные, так и реляционные предпосылки системы счисления, чья единичная размерность (ud) равно 1 (см. рис. 8) — независимо от подразумеваемого значения (0,75), и 3, и 4 являются целыми кратными единице измерения. Если мы смиримся с использованием этого дробного представления и никогда не будем пытаться явно разделить дробь, то и числитель (n), и знаменатель (d ) всегда остаются действительными целыми членами системы счисления "целая единица".

Тем не менее, чтобы подразумевать какое-либо значимое значение, важно признать тот факт, что это дробное обозначение (n/d) существенно делит единицу измерения (ud) в виртуальную субъединицу (vud) материального измерения (ud/d), на который также распространяются те же ограничения, что и на (ud) — особенности, которые охватывают (vud) не могут быть представлены как (n/d). Однако, как бы то ни было, мы можем переопределить как (u), так и (d) по мере необходимости — (ud), а не (vud), представляет неразрывную единицу числа система — не можем ли мы представить любую заданную сингулярность, используя соответствующие значения для (u) и (d)? Как оказалось, теперь мы знаем, что это доказуемо ложно, но древние греки определенно так думали, пока не начали возиться с прямоугольными треугольниками.

Как скажет вам любой уважающий себя восьмиклассник, теорема Пифагора утверждает, что для любого прямоугольного треугольника квадрат гипотенузы равен сумме квадратов двух других сторон, и, несмотря на ее относительное повсеместное распространение в современной культуре , это открытие стало огромным скачком в нашем понимании линейной геометрии. Греки быстро поняли, что реальная ценность этого соотношения заключается не в самих квадратах как таковых, а в корнях, соответствующих длинам каждой стороны — если длина двух сторон уже известна, то можно вывести третью. как квадратный корень из их объединенных или дифференциальных квадратов (см. рис. 9).

Нажмите на ссылку YouTube ниже, чтобы увидеть наглядную демонстрацию теоремы Пифагора.

К сожалению, древний метод вычисления квадратных корней часто был долгим и затяжным процессом, и вскоре греки начали искать ощутимые способы упростить свою арифметику. Одна из таких оптимизаций касается диагонали единичного квадрата со стороной 1, которая впоследствии масштабируется соразмерно для любого квадрата со стороной длины L. Поэтому, решая теорему Пифагора для единичного квадрата, где оба a и b равны 1, диагональ произвольный квадрат со сторонами L может быть уменьшен до квадратного корня из 2, умноженного на L (см. рис. 10 и 11).

Таким образом, подстрекаемые своей непрекращающейся одержимостью числовой чистотой — древние греки верили, что для описания всех физических явлений можно использовать только число — греческие математики вскоре приступили к кажущейся тривиальной задаче перечисления корня 2, но, несмотря на все их усилия, были только в состоянии получить удовлетворительное приближение этого иначе неуловимого значения. Тем не менее, уверенные в своей вере в то, что мера, количество и число являются взаимозаменяемыми понятиями, их настойчивые поиски продолжались много лет, пока кто-то из их рядов, возможно, Гиппас из Метапонта, не доказал, что такая мера не может быть выражена рациональным числом. (n) вместо (d).

Греческое доказательство иррациональности с помощью reductio ad absurdum хорошо задокументировано в Интернете, поэтому мы не будем его здесь перефразировать, но основная посылка состоит в том, что предположение о рациональности приводит к противоречию, где каждая часть уравнения демонстрирует несоизмеримую четность: одна четная, другая нечетная. Если вернуться назад по допущениям, составляющим уравнение, то все, кроме исходного допущения о рациональности, будут доказуемо верны.

Нажмите на ссылку YouTube ниже, чтобы наглядно продемонстрировать, почему корень 2 не может быть выражен рациональным выражением (n/d).

С более современной точки зрения, возможно, будет немного удобнее визуализировать иррациональность корня 2 с точки зрения единичных измерений (ud) и ( вуд) представленный ранее. Изучив пройденный материал, мы можем сделать следующие утверждения:

  • Из-за дискретной природы человеческого познания любая осмысленная система счисления должна использовать понятие единицы.
  • Единица размерности «целого» (ud), равная 1, интуитивно лучше всего подходит для системы счисления общего назначения.
  • После определения единица измерения (ud) должна считаться неизменной: изменение единицы измерения системы счисления эффективно переопределяет относительное значение каждого число, которое он инкапсулирует.
  • Чтобы поддерживать соизмеримую связь с (ud), количества субъединиц должны быть выражены как неявное целочисленное деление (n/d). где и (n), и (d) являются целыми числами, кратными (уд).
  • При обозначении значений субъединиц как неявного целочисленного деления (т. е. дробной записи) виртуальная единица измерения (vud) определяется как (ud/d), где (ud) всегда является целым числом, кратным (vud).

Учитывая эти термины, можно сказать, что не существует целочисленных значений (d), где корень 2 не попадает в непредставленное измерение (vud ). В качестве альтернативы мы могли бы сказать, что невозможно определить значение для (vud), которое поддерживает параллельную связь с обоими (ud). и корень 2. Возможно, еще более прямолинейно, мы могли бы просто сказать, что корень 2 не поддерживает никакой связи с единичным измерением, когда (ud) равно 1 (см. рисунок 12).

Как оказалось, корень 2 ни в коем случае не является чем-то особенным, и статистически мы с большей вероятностью столкнемся с иррациональными, чем с рациональными величинами в системе счисления «целая единица». Несмотря на то, что континуум представляет собой бесконечное множество как рациональных (представимых), так и иррациональных (непредставимых) величин, Георг Кантор (1845–1918) эмпирически доказал, что «бесчисленное» бесконечное множество иррациональных величин более многочисленно, чем «счетное» бесконечное множество. набор рациональных слов.

В конце концов, когда все сказано и сделано, пока мы можем выбрать любое целочисленное значение для (d) для построения (vud) , нам по-прежнему приходится довольствоваться системой счисления, которая представляет лишь подмножество всего континуума. Подобно податливой сетке, натянутой на прекрасную картину, наши дискретные системы дают нам представление о красоте, лежащей в основе, и одновременно затемняют некоторые тонкие штрихи художника. Иными словами, без привлечения дополнительных понятий, таких как точность, сходимость, бесконечность, пределы и геометрия, наши дискретные системы просто не приспособлены для описания всего мира.

Если бы мы рассмотрели вращающееся колесо исключительно с числовой точки зрения, например, можно было бы утверждать, что каждый полный оборот включает в себя бесконечную последовательность дискретно артикулируемых положений — при пересечении расстояния от 0,1° до 0,2°°, не так ли? также пройти 0,11°, 0,111°, 0,1111°, 0,11111°, до бесконечности? Если это действительно так, то как вообще может вращаться колесо? Проблема с этой гипотезой, кроме того факта, что колеса кажутся безнаказанно вращающимися, заключается в том, что мы пытаемся измерить недискретный континуум сингулярностей в терминах бесконечно убывающей последовательности единичных измерений — (vud ) всегда демонстрирует ощутимое измерение и, как таковое, всегда соответствует бесконечной последовательности сингулярностей внутри континуума.

Тем не менее, поскольку мы также вынуждены квантовать время аналогично тому, как это происходит с расстоянием, мы просто обращаемся к эфирным качествам бесконечности и конвергенции, чтобы зацементировать трещины, отделяющие осязаемое дискретное от неосязаемо непрерывного: по мере того, как последовательные измерения получают бесконечно меньше (т. е. 0,11, 0,111, 0,1111 и т. д.), так же как и время, необходимое колесу, чтобы пройти его, до бесконечности. При этом, однако, важно признать, что эти дискретные парадигмы являются лишь несовершенными факсимиле непрозрачной и отчужденной реальности — вращающемуся колесу не требуется бесконечно исчисляемая последовательность материальных измерений, чтобы воздействовать на движение. Выражаясь более кратко, «точность» — это скорее артефакт нашего процесса измерения, а не внутреннее свойство явлений, которые мы выбираем для измерения.

Хотя мы намеренно использовали дробную запись на протяжении большей части этого обсуждения, важно признать тот факт, что это несколько несовместимо с современной жизнью. Из-за неявного деления, инкапсулированного в каждое дробное выражение (n/d), необходимо использовать отдельные механизмы при работе с целой и дробной частями определенного числа — процесс сложения двух дробей немного сложнее, чем сложение двух целых чисел. Следовательно, теперь мы стремимся интегрировать дробные значения непосредственно в десятичную систему, делая их позиционно симметричными относительно десятичной точки: положительные степени десяти для целых чисел (1, 10, 100, 1000 и т. д.) и отрицательные степени десяти для дробей ( 0,1, 0,01, 0,001 и т. д.).

Это, конечно, смягчает большую часть неудобств, которые мы часто связываем с дробями (общий знаменатель, обратное деление и т. д.), и в конечном итоге сводит дробные вычисления к тому же симметричному поразрядному процессу, который используется для целых чисел. Однако, как и в большинстве вещей в жизни, удобство редко сопровождается компромиссом. Ограничивая наши дробные знаменатели отрицательными степенями числа 10, мы эффективно уменьшаем представимое рациональное множество до тех, чьи знаменатели также имеют соизмеримый набор простых множителей — простые множители числа 10 равны 2 и 5.

Это вводит еще одно явление, часто называемое «неточными» числами, когда в противном случае рациональные числа не соотносятся с точными представлениями в данной системе счисления. Мы часто сталкиваемся с многочисленными примерами неточного представления при работе с величинами в десятичной системе счисления, но бесконечно повторяющееся рациональное число 1/3 (0,33333r), возможно, является тем, к которому относится большинство людей, поскольку 3 и 10 не имеют соизмеримых простых множителей (3 является единственным простым делителем числа 3), трети не могут быть точно представлены в десятичной системе счисления.

В то время как некоторые могут считать арифметическое удобство плохим оправданием для дальнейшего снижения точности системы, которая уже исключает несчетно бесконечный набор иррациональных чисел, другие могут принять более прагматичную позицию, согласно которой мы, по сути, не хуже, чем с дробной записью: обе системы по своей сути исключить бесконечное множество чисел, независимо от того, рациональны они или нет. Каким бы ни было ваше мнение — как мы увидим позже в этой серии статей — неточное представление вызывает серьезную озабоченность только тогда, когда мы решаем отойти от нашей знакомой системы счисления с основанием 10.

Несмотря на то, что и неточные, и иррациональные числа порождают бесконечно повторяющиеся десятичные знаки, каждое из которых демонстрирует повторяющиеся и неповторяющиеся шаблоны соответственно, важно понимать, что ни одно из понятий напрямую не основывается на другом. Тем не менее, независимо от того, имеем ли мы дело с точными, неточными, рациональными или иррациональными числами, все десятичные дроби конечной точности имеют соответствующее рациональное представление (n/d), и поэтому , подвержены тем же недостаткам квантования, что и любая другая система счисления «целая единица».

Несмотря на нашу непрекращающуюся болтовню, к настоящему времени должно быть достаточно ясно, что когнитивная информация является бестелесной концепцией, уникально выраженной в пределах дискретной области, которая создает некоторые интересные проблемы, когда абстрагируется в телесную машину, которая по определению подчиняется законам телесный континуум. Возможно, наиболее интересным из них является то, как построить реальную машину, которая работает в физическом континууме и при этом квантует информацию способом, соизмеримым с человеческим разумом.

Как это часто бывает в инженерии, один из подходов состоит в том, чтобы полностью устранить проблему, переложив ее ответственность на оператора, а не на саму машину; если мы просто позволим машине работать в ее естественной среде, оператор может выполнить любое необходимое квантование, когда и где это необходимо. Если мы хотим сконструировать простую машину, которая подсчитывает, сколько раз (0–9) вращается «предметное» колесо, например, нам нужно только прикрепить к «предметному» колесу дополнительное «счетное» колесо, длина окружности которого составляет десять раз. свой собственный (см. рис. 13). Из-за того, что оба колеса движутся в тандеме в физическом континууме (а не в дискретных измерениях), это часто называют аналоговой механикой, и при условии, что метрика нанесена на «счетное» колесо с интервалом 36 °, каждое число должно точно соответствуют последовательным поворотам «предметного» колеса на 360°.

Щелкните ссылку на YouTube ниже, чтобы просмотреть наглядную демонстрацию этой аналоговой счетной машины.

В то время как физические аналоги часто представляют собой интуитивно удобные методы для использования инженерами, в этой конструкции есть три отдельных проблемы, которые могут препятствовать нашему предполагаемому применению:

  • Поскольку идеальное трение не может быть гарантировано в точке контакта, «предметное» и «счетное» колеса могут в конечном итоге рассинхронизироваться.
  • Физические предпосылки, а не конструктор, определяют преимущественно геометрию машины.
  • Машина всегда находится в состоянии непрерывного вечного движения или потока.

Первая проблема является относительно тривиальной инженерной задачей и легко решается за счет использования эвольвентных зубчатых колес вместо колес. С этой целью мы будем использовать такие шестерни для всех последующих демонстраций.

Второй вопрос можно считать скорее предикатом, чем решаемой проблемой, поскольку он представляет собой фундаментальный принцип, по которому работает машина: какой бы ни была окружность «предметного» колеса, «счетное» колесо должно быть в десять раз больше. Однако, несмотря на свою кажущуюся поверхностность, это в остальном безобидное предварительное условие вскоре обнаруживает серьезные ограничения при масштабировании за пределы несколько элементарного примера, представленного на рис. 13: нарисованном в том же масштабе, что и на рис. 13, на рис. 14 показано то же решение с дополнительным счетным колесом «десятки». который по необходимости в десять раз превышает длину окружности исходного счетного колеса «единиц» - замена исходного счетного колеса «единиц» на единицу, в десять раз превышающую его длину окружности (0–99), эффективно достигнет той же цели. Излишне говорить, что вскоре это решение выйдет за пределы практичности.

Третий вопрос, возможно, самый глубокий, поскольку он действительно подчеркивает хрупкость интерфейса, существующего между человеческим разумом и физическим континуумом: если машина работает в непрерывном вечном движении, и большая часть этого движения происходит в непредставленном измерении >(vud), не существует временного окна, в котором можно квантовать окончательное асинхронное чтение. Чтобы проиллюстрировать это, представьте себе сценарий, в котором три человека пытаются квантовать независимые показания в тот самый момент, когда машина достигает корня 2 (~1,414): один может сообщить 1,4, другой 1,5 и последний 1,6. Поскольку счетные колеса нумеруются только целыми числами, любое из этих показаний можно считать приемлемым приближением, но это не умаляет того факта, что текущее состояние машины, каким бы оно ни было, всегда открыто для квантовой интерпретации. Чтобы выразить это более конкретно (каламбур), стоит ли заново интерпретировать предварительно квантованные расчеты архитектора, которые были представлены для компьютерного моделирования?

Следует также отметить, что помимо определения интерфейса «человек-компьютер» третья проблема также распространяется на интерфейсы «компьютер-компьютер» и «компонент-компонент». При проектировании вычислительной машины часто предпочтительнее делать это таким образом, чтобы ее различные компоненты (сумматоры, вычитатели, умножители и делители) могли произвольно включаться/выключаться в соответствии с последовательностью переменных требований: 'a*b+ c' требует последовательности {умножение, сложение}, тогда как "(a+b)*(c+d)" требует последовательности {сложение, сложение, умножение}. Однако, к сожалению, как упоминалось ранее в выпуске 1, мы уже знаем, что любое отключение, каким бы коротким оно ни было, в конечном итоге приведет к десинхронизации компонентов.

Чтобы еще раз проиллюстрировать это, представьте себе сценарий, в котором «счетное» колесо отключается после первого полного оборота «предметного» колеса, а затем снова включается в тот самый момент, когда «предметное» колесо достигает корня 2: не только пытаемся ли мы синхронизироваться на сингулярности — предметное колесо непрерывно движется по континууму — но иррациональной сингулярности, которая не имеет окончательного исчисления в выбранной нами системе счисления. По этой причине аналоговые машины имеют тенденцию быть монолитными по своей природе, состоящими из предварительно зацепленных компонентов, которые остаются синхронизированными в течение всего времени выполнения одной функции фиксированной длины. Тем не менее, аналоговая парадигма достаточно хорошо применима к современным технологиям, заменяя непрерывное движение непрерывно меняющимся напряжением, хотя и с теми же оговорками, что и механический эквивалент.

Очевидно, что поскольку физические предпосылки и недискретная механика этого подхода представляют собой функциональный тупик для многих приложений, нам придется полагаться не только на физические свойства компонента, если мы намерены разработать более гибкое решение общего назначения. Хотя невозможно создать действительно дискретную машину в физическом континууме — физическая машина не может изменить свое состояние или значение за нулевое время — можно создать физическую машину, которая, по крайней мере, выглядит дискретной в определенные промежутки времени.

Используя зубчатые колеса вместо колес, как обсуждалось ранее, и разделяя конгруэнтные «предметные» и «счетные» шестерни переходным промежуточным зубчатым колесом, можно изолировать движение «счетного» колеса в определенном интервале непрерывно вращающегося «предметного» колеса ( см. рисунок 15). Если промежуточная (серая) шестерня сконструирована таким образом, что она находится под соседними шестернями и поднимается вверх (зацепляется) только тогда, когда правая шестерня находится под углом от 324° до 360°, то из этого следует, что счетное колесо остается неподвижным, в то время как предметное колесо находится под углом от 0° до 324°. Следовательно, если мы ограничим интерфейсы человек-машина и машина-машина периодами, когда «счетное» колесо не находится в движении, мы фактически получим аналоговую машину, которая представляет себя псевдодискретно-квантованным образом (т. е. ее состояние всегда определяется в рациональных терминах и, таким образом, не подлежит квантовой интерпретации). Кроме того, поскольку и «предметное», и «счетное» колеса теперь геометрически конгруэнтны (размер компонентов больше не является обязательным условием проектирования), дизайн легко масштабируется путем повторения одних и тех же компонентов столько раз, сколько необходимо (см. рис. 16).

Нажмите на ссылку YouTube ниже, чтобы увидеть наглядную демонстрацию этой псевдодискретной десятичной счетной машины.

Эта псевдодискретная парадигма также достаточно хорошо применима к современным технологиям, заменяя десять стабильных механических состояний десятью стабильными напряжениями, но это не решение, оптимально масштабируемое на уровне микро-/наночипа. Чтобы поддерживать различимое разделение между каждым из десяти уровней напряжения, инженеры вынуждены использовать схемы фильтрации и дифференцирования, которые обычно потребляют больше доступного кремния, чем сами активные компоненты. Проблема еще больше усугубляется тем, что инженеры пытаются уменьшить схемы, чтобы обеспечить большую интеграцию, и разделение между уровнями напряжения быстро уменьшается до такой степени, что они становятся электрически неотличимы друг от друга.

Однако, кроме нашей склонности к десятичному соглашению, нет никаких эмпирических причин загромождать нашу конструкцию десятью дискретными уровнями напряжения, и сведя это требование к состоянию до абсолютного минимума — для вывода о дифференцируемом состоянии требуются только два уровня напряжения — это возможно. чтобы максимизировать разделение напряжения, устраняя большую часть схем фильтрации и дифференцирования в процессе. Кроме того, используя компоненты, которые когда-либо проявляют только одно из двух возможных состояний, мы фактически сводим механику к простой парадигме переключения «включено» или «выключено», с которой инженеры-электронщики могли хорошо справляться в течение очень долгого времени.

Если мы решим сохранить нашу знакомую позиционно-симметричную систему счисления, которая всегда является наиболее оптимальным решением в данном конкретном сценарии, тогда нам придется довольствоваться цифровыми компонентами, которые считают только до 1 вместо 9. По сути, это дает машину, которая считает в двоичной системе счисления с основанием 2, где последовательные целые позиции представляют положительные степени числа 2 (1, 2, 4, 8), а не 10 (1, 10, 100, 1000). Следовательно, из-за уменьшенного количества состояний на цифру двоичной машине требуется гораздо больше числовых компонентов, чтобы представлять величины, соизмеримые с величинами ее десятичного аналога: двузначный двоичный счетчик может считать только до 3, а не 99. (см. рисунок 17 для эквивалентной механической реализации).

Интересное наблюдение

Механический двоичный счетчик, представленный на рисунке 17, имеет рабочий цикл 50 %, при котором он пропорционально чередуется между стабильным (безопасным) и нестабильным (небезопасным) состоянием с течением времени — машина безопасна для наблюдения/включения в течение первых 180° только вращение каждого предметного колеса. Если мы построим эту модель безопасного/небезопасного во времени, мы получим график с двумя состояниями, который имеет удивительное сходство с тактовым сигналом, который мы часто связываем с современными процессорами (см. рис. 18). Как мы узнаем позже в этой серии статей, это больше, чем просто случайное совпадение: тактовый сигнал фактически используется для разграничения безопасных и небезопасных периодов при переходе ЦП из одного дискретного состояния в другое (ни одна физическая машина не может изменить свое состояние). состояние в нулевое время).

Нажмите на ссылку YouTube ниже, чтобы увидеть наглядную демонстрацию этой псевдодискретной двоичной счетной машины.

Возможно, однажды мы выйдем за пределы дискретного познания и будем взаимодействовать с континуумом на более взаимном уровне, но до тех пор, пока не наступит этот судьбоносный день, нули и единицы — электрические или иные — вероятно, останутся наиболее оптимальной парадигмой для абстракции когнитивной информации. дискретно масштабируемым образом. В следующем выпуске Bare Metal мы рассмотрим, как реализованы эти нули и единицы и как их можно связать между собой, чтобы получить законченное цифровое решение.

Если вы хотите выразить свою признательность, то, пожалуйста, подумайте о том, чтобы купить нам кофе.