Основные векторные понятия — 3Blue1Brown
Векторное представление с использованием базиса
Теперь представьте, что у нас есть вектор в системе координат xy.
У нас есть эти два числа для описания вектора. Два числа, обозначающие положение вектора в системе координат.
В системе координат xy есть два специальных вектора, i-hat и j-hat, и оба они имеют длину 1. Это «единичные векторы», а единичные векторы всегда имеют длину 1.
i-шляпа и j-шляпа также называются «базисными векторами» системы координат xy.
Теперь, когда мы знаем о базисных векторах, мы можем разбить фиолетовый вектор на сумму двух векторов, красного и синего.
Кроме того, наши красные и синие векторы являются масштабированной версией базисного вектора i-hat и j-hat.
Таким образом, фиолетовый вектор можно назвать суммой двух масштабированных базисных векторов.
Наш фиолетовый вектор будет таким.
Таким образом, мы можем представить любой вектор в системе, используя базис, все векторы являются суммой двух масштабированных базисных векторов.
Единичный вектор против базисного вектора
Единичные векторы и базисные векторы могут сбивать с толку, и они, безусловно, разные. Единичные векторы — это просто векторы, длина которых равна 1, а базисные векторы — это базис данного пространства, то есть мы можем достичь любой точки в данном пространстве путем масштабирования и сложения базисных векторов. Базисные векторы не обязательно должны иметь длину 1.
Итак, теперь мы знаем разницу между единичными векторами и базисными векторами. Но в определении базисных векторов есть несколько незнакомых понятий, таких как «промежуток» и «линейно независимый».
Линейная комбинация и диапазон
Мы видели, что сумма двух масштабированных базисных векторов может представлять каждую точку в системе координат xy. Таким образом, если вы масштабируете два вектора и складываете их вместе, это называется «линейной комбинацией» двух векторов.
Набор всех возможных векторов, которые вы можете составить из линейных комбинаций двух заданных векторов, является «промежутком» этих двух векторов.
Промежуток некоторых двух векторов в 2d-пространстве - это в основном само 2d-пространство, но есть исключения: когда два вектора являются нулевыми векторами (только начало координат) и когда два вектора линейно зависимы.
Линейно зависимый
Если мы можем исключить вектор и по-прежнему получить тот же диапазон, мы можем сказать, что вектор «линейно зависит» от другого вектора. Это означает, что вектор уже находится в диапазоне других векторов. Это также означает, что вектор, который является линейно независимым, не добавляет дополнительного измерения к промежутку.
Мы также можем увидеть это в 3D-пространстве:
Здесь, хотя у нас есть 3 вектора, которые обычно охватывают все трехмерное пространство, поскольку красный вектор линейно зависит от розового вектора, три вектора охватывают двумерную плоскость.
Обратное линейно независимо.
