Что такое фрактальная геометрия?

Фрактальная геометрия — это подход, помогающий обеспечить логическое и структурное понимание закономерностей, которые очень часто встречаются в природе.

Исследовательские работы, чтобы лучше понять концепцию

  1. Фрактальная геометрия профиля пространственно-временной разности в направленном ландшафте посредством построения геодезических локальных времен (arXiv)

Автор:Ширшенду Гангулы, Лингфу Чжан

Аннотация. Направленный ландшафт, случайная направленная метрика на плоскости (где первая и вторая координаты называются соответственно пространственной и временной), была построена в прорывной работе Доверня, Ортманна и Вирага. и с тех пор было показано, что это предел масштабирования различных интегрируемых моделей просачивания Последнего прохода, центрального члена класса универсальности Кардара-Паризи-Жанга. Он демонстрирует несколько свойств масштабной инвариантности, что делает его естественным источником богатого фрактального поведения. Такое исследование было начато в Басу-Гангули-Хаммонде, где рассматривался разностный профиль, т. е. разница во времени прохождения из двух фиксированных точек (скажем, (±1,0)). В силу геодезической геометрии оказывается, что этот разностный процесс почти наверное локально постоянен. Множество непостоянства связано с непересекающимися геодезическими и наследует замечательные фрактальные свойства. В частности, установлено, что при варьировании только пространственной координаты множество непостоянства разностного профиля имеет хаусдорфову размерность 1/2 и довольно сильно напоминает нулевое множество броуновского движения. Аргументы в решающей степени опираются на свойство монотонности, которое отсутствует при исследовании временной структуры процесса, что требует разработки новых методов. В этой статье мы выдвигаем несколько новых идей и показываем, что множество непостоянства двумерного разностного профиля и одномерного временного процесса (когда пространственная координата фиксирована, а временная координата варьируется) имеют хаусдорфову размерность 5/3 и 2/3 соответственно. Особенно важным компонентом нашего анализа является новая конструкция процесса локального времени для геодезической, родственного броуновскому местному времени, опирающемуся на «нулевой набор» геодезической. Далее мы показываем, что последнее имеет хаусдорфову размерность 1/3 в отличие от нулевого множества броуновского движения, имеющего размерность 1/2.

2.Топологический порядок, квантовые коды и квантовые вычисления на фрактальной геометрии (arXiv)

Автор: Гуаньюй Чжу, Томас Джохим-О’Коннор, Арпит Дуа

Аннотация: мы исследуем топологический порядок фрактальных геометрий, встроенных в n измерений. В частности, мы диагностируем существование топологического порядка через призму квантовой информации и геометрии, т. е. через его эквивалентность квантовому коду с исправлением ошибок с макроскопическим кодовым расстоянием или наличием макроскопических систол в систолической геометрии. Сначала мы докажем непроходимую теорему о том, что топологический порядок ZN не может существовать ни на одном фрактале, вложенном в двумерное пространство. Для моделей фрактальной решетки, встроенных в трехмерные или более высокие пространственные измерения, топологический порядок ZN сохраняется, если границы внутренних отверстий конденсируют только петлевые или мембранные возбуждения. Более того, для класса моделей, содержащих только петлевые или мембранные возбуждения и, следовательно, самокорректирующихся на n-мерном многообразии, мы доказываем, что топологический порядок сохраняется на большом классе фрактальных геометрий независимо от типа границ дырок. Далее мы строим отказоустойчивые логические элементы, используя их связь с глобальными и топологическими симметриями высшей формы. В частности, мы обнаружили логический вентиль CCZ, соответствующий глобальной симметрии в классе фрактальных кодов, встроенных в трехмерное пространство с хаусдорфовой размерностью, асимптотически приближающейся к DH=2+ε для сколь угодно малого ε, что, следовательно, требует только пространственных накладных расходов Ω(d2 +ε), где d — кодовое расстояние. Это, в свою очередь, приводит к неожиданному открытию некоторых экзотических границ с щелями, которые только конденсируют комбинацию петлевых возбуждений и доменных стенок с щелями. Далее мы получаем логические вентили CpZ с p≤n−1 на фрактальных кодах, вложенных в nD. В частности, для логического Cn−1Z на n-м уровне иерархии Клиффорда мы можем сократить пространство накладных расходов до Ω(dn−1+ε). Математически наши результаты соответствуют макроскопическим относительным систолам во фракталах.

3. Ассуад размерность и фрактальная геометрия(arXiv)

Автор:Джонатан М. Фрейзер

Аннотация:эта книга будет опубликована в 2020 году издательством Cambridge University Press (серия Tracts in Mathematics). Он фокусируется на измерении Ассуада множеств и мер в евклидовом пространстве, а также на многих вариантах измерения Ассуада, включая нижнее измерение и спектр Ассуада. Он рассматривает эти понятия в контексте фрактальной геометрии, и затрагиваемые темы включают: слабые касательные, самоподобные множества, самоаффинные множества, перколяцию Мандельброта, предельные множества клейнианских групп, ортогональные проекции, дистанционные множества и множества Какейи. Также рассматриваются приложения этих идей в других областях, включая теорию вложений, теорию чисел, теорию вероятностей и функциональный анализ. Заканчивается списком открытых проблем

4. Дизайн разреженных массивов с помощью фрактальной геометрии (arXiv)

Автор:Регев Коэн, Йонина С. Эльдар

Аннотация: Разреженные массивы датчиков привлекли значительное внимание в различных областях, таких как радар, обработка массивов, ультразвуковая визуализация и связь. В контексте обработки на основе корреляции такие массивы позволяют разрешать больше некоррелированных источников, чем физические датчики. Это свойство разреженных массивов проистекает из размера их разностных комассивов, определяемых как разность местоположений элементов. Таким образом, проектирование разреженных массивов с большими разностными коматрицами представляет большой интерес. Кроме того, в различных приложениях важны и другие свойства массива, такие как симметрия, надежность и экономичность массива. Многочисленные исследования предлагали различные разреженные геометрии, фокусируясь на одних свойствах и не затрагивая другие. Включение нескольких свойств в задачу проектирования приводит к комбинаторным задачам, которые обычно являются NP-сложными. Для небольших массивов эти проблемы оптимизации можно решить грубым перебором, однако в больших масштабах они становятся неразрешимыми. В этой статье мы предлагаем масштабируемый систематический способ проектирования больших разреженных массивов с учетом нескольких свойств. С этой целью мы вводим конструкцию фрактального массива, в которой массив генераторов рекурсивно расширяется в соответствии с его разностным комассивом. Наш основной результат состоит в том, что при соответствующем выборе генератора такие фрактальные массивы имеют большие разностные ко-массивы. Кроме того, мы показываем, что фрактальные массивы наследуют свои свойства от своих генераторов. Таким образом, небольшой генератор можно оптимизировать в соответствии с желаемыми требованиями, а затем расширить для создания фрактального массива, отвечающего тем же критериям. Этот подход открывает путь к эффективному проектированию больших массивов из сотен или тысяч элементов с определенными свойствами.

5. Фрактальная геометрия космической паутины и ее формирование (arXiv)

Автор:Хосе Гайте

Аннотация: Структура космической паутины изучается с помощью концепций и методов фрактальной геометрии с использованием модели адгезии космологической динамики в качестве основного эталона. Структуры скоплений материи и космических пустот в космологическом моделировании N тел или Слоановском цифровом обзоре неба выясняются с помощью мультифрактальной геометрии. Нелакунарная мультифрактальная геометрия может включать в себя три основных описания космической структуры, а именно структуру паутины, иерархическую кластеризацию и распределение гало. Кроме того, это объясняет наши нынешние знания о космических пустотах. Таким образом, кажется, возникает единая теория крупномасштабной структуры Вселенной. Полученный нами мультифрактальный спектр существенно отличается от спектра модели адгезии и лучше соответствует законам гравитации. Формирование космической паутины лучше всего моделировать как разновидность турбулентной динамики, обобщающей известные методы турбулентности Бюргерса.