Обратные матрицы, пространство столбцов и пустое пространство — 3BlueBrown

Повторное представление уравнения

Почему линейная алгебра важна?

Потому что мы можем решить любую систему уравнений. Например, если у нас есть это:

Мы можем переписать наши уравнения. Каждая переменная действует как скаляр для констант. Мы можем выкинуть все переменные слева, поставив константы справа.

Это дает нам геометрическое представление уравнений. Теперь задачу можно упростить как «нахождение вектора x, который может превратиться в вектор v после линейного преобразования A».

Как найти решение

В качестве первого шага для поиска решения нам нужно сначала проверить, сжимает ли преобразование A наше пространство или нет. Это можно проверить с помощью определителей.

Мы можем ожидать два случая:

Когда det(A) не равно 0

В этом случае есть только 1 вектор x, который можно преобразовать в v.

Мы можем узнать, что это взаимно однозначное соответствие, если обратим преобразование A(matrix). Это называется инверсией А.

Так что, если мы выполним некоторое преобразование и изменим его? Он вернется в исходное состояние. Это называется преобразованием идентичности, и его можно представить следующим образом:

Итак, мы можем решить так (цель состоит в том, чтобы найти вектор x);

Когда det(A) равен 0

В этом случае сплющенное пространство нельзя заменить линейным преобразованием (функцией). Линейных преобразований, расширяющих диапазон, нет.

Чтобы заменить его,

мы должны сопоставить один вектор с несколькими векторами, но ни одна функция не может этого сделать.

Однако решения все еще могут существовать, даже когда определитель равен 0, только когда вектор v находится в сжатом диапазоне.

Классифицировать

Однако, если мы посмотрим в 3D,

есть больше решений, когда пространство опущено, чем в примере выше.

Когда результат преобразования выводит 1d (строку), в этом случае это

Ранг 1.

Когда результат преобразования выводит 2d (плоскость), в этом случае это

Ранг 2.

Итак, матрица 2 х 2 может иметь ранг до 2, а если есть матрица 3 х 3 и ранг равен 1, значит, она схлопнулась в одну строку.

Кроме того, когда матрица размера n x n имеет ранг n, это называется «полным рангом».

Пространство столбца и пустое пространство

Таким образом, более точным определением ранга является размер пространства столбца. выходное пространство называется пространством столбца. Поскольку столбцы находятся там, где приземляются базисные векторы, диапазон столбцов становится выходным пространством, которое можно назвать пространством столбцов.

В 3D, когда пространство схлопывается в область,

Все векторы, которые схлопываются в начало координат, этот набор векторов называется «нулевое пространство/ядро», что означает пространство, которое превращается в нулевое (0).

О нулевых векторах

Нулевой вектор всегда включается в пространство столбцов, потому что начало координат должно оставаться неизменным. Кроме того, единственным вектором, который преобразуется в исходную точку при выполнении преобразования полного ранга, является нулевой вектор (при преобразовании полного ранга ничего не схлопывается).

Чтобы на самом деле выполнить вычисления, мы можем использовать исключение Гаусса.