Многие математические объекты можно лучше понять, если разбить их на составные части или найти некоторые их свойства, которые являются универсальными и не обусловлены тем, как мы их представляем.

Хорошим примером этой идеи может быть разложение целого числа на простые множители. Возьмем число 12, способ представления этого числа будет меняться в зависимости от того, запишем ли мы его в десятичной системе счисления или в двоичной, но всегда будет верно, что 12 = 2 x 2 x 3. Из этого мы можем сделать вывод о полезных свойствах. , например, что 12 не делится на 5 и что любое целое число, кратное 12, делится на 3.

Точно так же, как мы можем узнать об истинной природе целого числа, разложив его на простые множители, мы можем сделать то же самое и с матрицами, то есть мы сможем обнаружить информацию о их функциональных свойствах, которые не очевидны из их стандарта. представление. Один из наиболее широко используемых видов матричной декомпозиции называется собственной декомпозицией, в которой мы разлагаем матрицу на набор собственных векторов и собственных значений.

Краткое изложение матричных собственных векторов и собственных значений

Собственные векторы:

Собственный вектор — это просто ненулевой вектор, в котором при применении линейного преобразования он изменится только на скалярный коэффициент и останется на том же промежутке.

Собственные значения:

Собственное значение, часто обозначаемое как λ, представляет собой коэффициент, на который масштабируется собственный вектор.

Уравнение собственного значения:

Предположим, что у нас есть ненулевой вектор v в матрице размеров n x n A, вектор v будет считаться собственным вектором матрицы A, если он удовлетворяет следующему уравнению:

где λ означает собственное значение, соответствующее вектору v. Двигаясь дальше, мы можем сформулировать уравнение для собственных значений более надежно:

где I — единичная матрица, а 0 — нулевой вектор. Наша цель — найти, когда член в скобках (A-λI) равен 0, мы можем еще больше упростить уравнение следующим образом: :

или проще говоря:

это характеристическое уравнение, которое дает нам характеристический полином. Из фундаментальной теоремы алгебры следует, что характеристический полином матрицы n на n A, будучи многочленом степень n, можно разложить на произведение n линейных членов:

Числа λ_1,λ_2, …, λ_n, которые не все могут иметь различные значения, являются корнями многочлена и являются собственными значениями A. Другими словами, новое уравнение, использующее характеристический многочлен, делает так, что уравнение собственных значений, которое я дал ранее «(A-λI)v=0” будет иметь ненулевое решение v только в том случае, если определитель A равно нулю.

Это, конечно, очень краткое изложение собственных значений и собственных векторов, и если вы хотите получить более глубокое представление о них, что рекомендуется для понимания остальной части этой статьи, обратитесь здесь.

Собственное разложение матрицы

Возьмем квадратную матрицу n x n Aс n линейно независимыми собственными векторами q_i (где i=n), мы можем разложить на множители матрицу A вот так:

Где

  • Q — ортогональная матрица, состоящая из собственных векторов матрицы A q_i
  • Λ — диагональная матрица, диагональные элементы которой являются соответствующими собственными значениями собственных векторов A q_i
  • Q^-1 является обратным Q.

Это разложение выводится из упомянутого ранее фундаментального свойства собственных векторов:

Важно иметь в виду

  • Не всякая матрица может быть разложена на собственные значения и собственные векторы, в некоторых случаях разложение существует, но включает комплексные, а не действительные числа.
  • Хотя любая реальная симметричная матрица A гарантированно имеет собственное разложение, это собственное разложение может быть не уникальным. Если любые два или более собственных вектора имеют одно и то же собственное значение, то любой набор ортогональных векторов, лежащих в их диапазоне, также является собственным вектором с этим собственным значением, что означает, что мы могли бы эквивалентно выбрать Q, используя эти собственные векторы вместо этого.
  • n собственных векторов q_i чаще всего нормализуются, но это не обязательно, поскольку ненормализованный набор n собственных векторов также можно использовать в качестве столбцов Q.

Используя то, что мы теперь знаем, мы можем разложить матрицы на их собственные значения и собственные векторы, поскольку это помогает нам анализировать определенные свойства матрицы, подобно тому, как разложение целого числа на его простые множители помогает нам понять поведение этого целого числа.

*Выше приведен пример эффекта собственных векторов и собственных значений. У нас есть матрица A с двумя ортогональными собственными векторами, v¹с собственным значением λ_1 и v² с собственным значением λ_2. Наблюдая за тем, как A искажает единичный круг, мы видим, что он масштабирует пространство в направлении v^i на λ_i. эм>

Пример собственного разложения на матрице 2x2

Теперь, когда мы понимаем математическую концепцию собственного разложения, давайте попробуем пример. Начнем с матрицы 2x2 A и невырожденной матрицы B:

Матрица A может быть разложена в диагональную матрицу путем умножения матрицы B:

с решением (справа), являющимся реальной диагональной матрицей. Чтобы решить эту проблему, мы сначала умножаем обе части уравнения слева на B:

Приведенное выше уравнение можно разложить на два одновременных уравнения следующим образом:

и, вынося на множители собственные значения x и y, мы получаем:

Итак, сдача:

это дает нам два уравнения:

что, если вы заметили, дает нам то же представление, что и фундаментальное свойство собственных векторов, показанное ранее в начале этой статьи:

Где λ представляет два собственных значения x и y, а v представляет векторы a и b. Наш следующий шаг — переписать приведенное выше уравнение следующим образом:

и поскольку определение того, что a и b равны 0, не говорит нам ничего, кроме того факта, что они тривиальны решений, наше основное внимание уделяется части в квадратных скобках (A-λI), поэтому мы можем еще больше упростить уравнение:

Решая вышеприведенное уравнение, получаем:

таким образом, мы получаем следующее решение для собственных значений матрицы A, которое равно λ=1 или λ=3, а результирующая матрица из собственного разложения A:

Теперь все, что нам нужно сделать, это поместить это решение обратно в уравнение для уравнений:

и, решив это уравнение, получим:

Таким образом, матрица B, необходимая для собственного разложения A, имеет вид:

Теперь мы можем окончательно закончить уравнение собственного разложения:

Краткое содержание:

В этой статье мы узнали о том, что такое собственное разложение, а также о том, как оно работает математически, и привели пример для лучшего представления. Если вы заметили какие-либо ошибки в моей математике или объяснениях, не стесняйтесь оставлять комментарии об этом, я хотел бы понять, где я ошибся, и исправить это как можно скорее. Я надеюсь, что вы нашли это полезным, спасибо за чтение!

Источники:

https://www.deeplearningbook.org/contents/linear_алгебра.html

https://en.wikipedia.org/wiki/Eigendecomposition_of_a_matrix