Собственные векторы и собственные значения + Быстрый прием для вычисления собственных значений — 3Blue1Brown
Определение
Собственные векторы: вектор, который при работе с данным оператором дает скалярное число, кратное самому себе.
Собственные значения: специальный набор скалярных значений, которые представляют, насколько собственные векторы были растянуты или сжаты во время некоторого линейного преобразования.
- Обратите внимание, что собственные значения могут быть отрицательными.
Вычисление собственных значений
По определению собственного вектора вектор v, линейно преобразованный матрицей A, должен давать тот же результат, что и вектор v, масштабированный некоторой скалярной лямбдой.
Поскольку мы масштабируем по скалярной лямбде, мы можем переписать лямбду как:
Тогда формула будет такой:
Эта «некоторая матрица» будет действовать как линейное преобразование, сжимающее пространство в линию или точку. Это значит:
Теперь давайте посчитаем это на примере.
Теперь у нас есть собственные значения. Также обратите внимание, что собственных значений быть не может. Например, после поворота ни один вектор не остается на исходном участке.
Техника быстрых вычислений
Для матриц 2 x 2 есть гораздо более простой способ вычисления собственных значений.
Допустим, у нас есть наша матрица A:
Мы можем использовать эти факты, чтобы легко вычислить собственное значение (лямбды — это собственные значения):
Поскольку мы знаем среднее значение этих двух собственных значений, мы можем представить их следующим образом:
И это можно записать так:
So,
