1. Символьное интегрирование по мере Хаара на унитарной группе (arXiv)
Автор:Збигнев Пухала, Ярослав Адам Мищак
Аннотация: Мы представляем пакет IntU для системы компьютерной алгебры Mathematica. Представленный пакет выполняет символьное интегрирование полиномиальных функций по унитарной группе по единственной нормализованной мере Хаара. Описан ряд частных случаев, которые можно использовать для оптимизации скорости вычисления некоторых классов интегралов. Мы также приводим несколько примеров использования представленного пакета.
2.Условные меры Хаара на классических компактных группах (arXiv)
Автор: П. Бургаде
Аннотация: мы даем вероятностное доказательство формулы интегрирования Вейля для U(n), унитарной группы размерности n. Это зависит от подходящего определения мер Хаара, обусловленного существованием стабильного подпространства с любой заданной размерностью p. Разработанный метод приводит к следующему результату: для этой условной меры запись Z(p)U для первой ненулевой производной характеристического полинома в точке 1,
Z(p)Up!=закон∏ℓ=1n−p(1−Xℓ),
Xℓ — явные независимые случайные величины. Отсюда следует центральная предельная теорема для logZ(p)U и асимптотика плотности Z(p)U вблизи 0. Аналогичные предельные теоремы даны для ортогональных и симплектических групп, основанные на результатах Киллипа и Ненсиу.
3. Относительная энтропия, меры Хаара и релятивистские канонические распределения скоростей (arXiv)
Автор: Йорн Дункель, Питер Толкнер, Питер Хэнги
Аннотация: Термодинамический принцип максимума для энтропии Больцмана-Гиббса-Шеннона (БГШ) пересматривается путем объединения элементов теории групп и теории меры. Наш анализ начинается с того, что мы отмечаем, что энтропия BGS является частным случаем относительной энтропии. Последний характеризует распределения вероятностей относительно заранее заданной эталонной меры. Отождествление канонической энтропии БГС с относительной энтропией привлекательно по двум причинам: (i) принцип максимума энтропии принимает координатно-инвариантную форму; (ii) термодинамические равновесные распределения, которые получаются как решения задачи о максимальной энтропии, могут быть охарактеризованы с точки зрения свойств преобразования базовой эталонной меры (например, инвариантность относительно групповых преобразований). В качестве примеров мы анализируем два часто рассматриваемых кандидата на одночастичное равновесное распределение скоростей идеального газа релятивистских частиц. Становится очевидным, что стандартное распределение Юттнера связано с (аддитивной) группой трансляций в импульсном пространстве. В качестве альтернативы введение лоренц-инвариантности эталонной меры приводит к так называемой модифицированной функции Юттнера, которая отличается от стандартного распределения Юттнера предфактором, пропорциональным обратной энергии частицы
