50 математических концепций для лучшего программирования (часть 3)

10. Матрицы

Матрица — это массив/таблица чисел.

Они широко используются в алгебре для выполнения операций в сжатой форме.

Матрица m * n состоит из m строк (по горизонтали) и n столбцов (по вертикали).

Элементы в матрице обозначаются следующим образом, где для элемента a :

• первое число в нижнем индексе — это номер строки и,
• второе число в нижнем индексе — это номер столбца

Матричная арифметика

Сложение и вычитание

Необходимое условие:
две матрицы должны иметь одинаковые размеры, т. е. с одинаковое количество строк и столбцов для добавления или вычитания.

Число в месте можно добавить/вычесть из аналогично расположенного элемента в другой матрице следующим образом:

Умножение матриц

Условие:
две матрицы A и B можно только перемножить, если A имеет одинаковое количество columns как количество строк в B.

Две матрицы 2x2 можно перемножить следующим образом:

Матричное транспонирование

Транспозиция матриц переворачивает матрицу по ее диагонали.

Эта операция переключает индексы строк и столбцов матрицы A, создавая другую матрицу, обозначаемую A^T.

Инверсия матрицы

При умножении чисел, если x = 10, то обратное значение x (x-¹), т.е. 1/x = 1/10

Следовательно, верно следующее:

x * x^-1 = 1

Для матриц обратная матрица A должна удовлетворять вышеуказанному условию.

A * A^-1 = 1

Например, обратную матрицу 2x2 можно продемонстрировать ниже:

Это связано с тем, что A, умноженное на обратное A^-1, возвращает следующее:

Матрица идентичности (I)

Это матричный аналог 1.

Единичная матрица размера n x n квадратная матрица представляет собой единицу с единицами на главной диагонали и нулями в других местах.

Матричный отдел

Две матрицы A и B можно разделить следующим образом:

A / B = A * B^-1

Помните, что это будет верно только в том случае, если матрица B имеет возможную обратную.

Также,

A^-1 * B не равно A * B^-1 в отношении чисел.

Свойства матрицы

• Умножение матриц некоммутативно

A X B не равно B X A

• Умножение матриц является дистрибутивным по отношению к сложению матриц.

Для матрицы A размера m × n и B размера n × p:

A(B+C) = AB + AC (левая дистрибутивность)

Для матрицы C размера n × p и D размера p × q :

(B+C)D = BD + CD (правая распределительность)

• Если A — матрица, а c — скаляр, то матрицы cA и Ac получаются путем умножения слева и справа элементов A на c.

11. Векторы

Вектор — это одномерная матрица.

Его можно записать в виде списка чисел.

Матрицы с одной строкой называются векторами-строками(1 x n размерность).

Матрицы с одним столбцом называются векторами-столбцами(n x 1 размерность).

Ознакомьтесь с другими частями этой серии ниже:

Спасибо, что прочитали эту статью!

Если вы новичок в Python или программировании в целом, ознакомьтесь с моей новой книгой под названиемThe No Bulls**t Guide To Learning Pythonниже: