Что такое функция?

да, это больше, чем просто волнистые линии на графике!

Предисловие

Эта статья будет полезна тем, кто имеет базовые знания о множествах и их приложениях. По мере того, как я буду писать больше статей, я буду обновлять этот раздел полезными статьями, на которые можно ссылаться и которые помогут вам лучше понять эту статью!

Вы можете прочитать:

✨ Наборы! Часть первая → информация о приложениях базового набора

Что такое функция?

Если бы вы несколько месяцев назад спросили меня, что такое функция, я бы, наверное, взял лист бумаги, нарисовал график и с гордостью нарисовал U-образную линию в мертвой точке. Та-да! И это функция, я бы сказал вам с полной уверенностью. И хотя это правда, это довольно неформальный способ определить, что такое функция.

Если бы вы снова задали мне тот же вопрос, лучшим способом описания функции было бы сказать, что функция существует, если вы подставляете число в уравнение, и оно всегда имеет один ответ. Подумайте об этом так: когда вы подставляете число в уравнение f(x) с помощью калькулятора, вы всегда должны получать одно уникальное значение y для каждого уникального значения x, помещенного в f(x).

Если f(x) = 2(x) и x = 3

f(3) = 2(3), который всегда возвращает один результат, равный f(3) = 6.

f(3) всегда равно 6 и никогда не будет равно другому выходу в то же время (другими словами, f(3) не равно 6 И5 или 6 И 9999).

Наконец, нам нужно знать, что функции состоят из бинарного отношения. Если у нас есть два набора, набор X и набор Y, мы называем набор X доменом, а набор Y — кодовым доменом. В функции значения x будут в домене, а значения y будут в домене кода. Это связано с тем, что домен представляет собой набор входных данных, а кодовый домен представляет собой набор выходных данных в результате домена. Бинарное отношение говорит, что наши значения x, принадлежащие множеству X, связаны с нашими значениями y, принадлежащими множеству Y, если существует некоторое условие, определяющее отношение.

Теперь, когда у нас есть вся эта информация, мы можем формально определить функцию следующим образом:

Функция от множества X к множеству Y – это бинарное отношениеfот X к Y, если для каждого x, принадлежащего множеству X, существует ТОЛЬКО ОДИН y в множество Y, такое что (x, y) принадлежит f(этот фактор определяет бинарное отношение функции).

Пара значений (x, y) из соответствующих наборов X и Y является подмножеством X x Y со свойством, которое говорит, что все значения в наборе X (домен) будут в паре со значением из набора Y (кодовый домен).

Если мы определим множество X как X = {2, 3, 4} и Y = {a, b}, мы могли бы иметь:

f = {(2, a), (3, b), (4, a)}

Мы видим, что это верно, потому что значения 2, 3 и 4 в наборе X сопоставляются только со значением ONE. Другими словами, нет такого примера, где 2 соответствует как И b.

Теперь давайте попробуем еще несколько примеров, демонстрирующих, что НЕ является функцией (используя наборы, определенные выше).

f = {(2, a), (3, b)}

В чем проблема? В наборе X 4 не отображается ни на какое значение в наборе Y.

Наконец:

f = {(2, a), (3, b), (4, a), (2, b)}

О, о! Ой!! У нас не может быть одного и того же значения x, которое соответствует двум разным значениям y:/ Поэтому упорядоченные пары (2, a) и (2, b) недействительны.

Обозначение

При просмотре свойств функций (которые будут объяснены ниже) это будет обозначаться как:

f : A → B

Обычно функция определяется f.

Вся строка выше утверждает, что f — это функция от A до B.

A представляет то, что может быть введено в функцию, а B представляет результат функции на основе входных данных.

Например:

f : N → Z

Говорит, что функция будет вводить значения из набора натуральных чисел и может выводить значения только из набора целых чисел.

инъективный

Функции могут быть инъективными (иначе называются взаимно однозначными).

Инъективные функции определяются как:

если f(a) = f(b), то a = b

или мы можем принять противоположное:

a != b → f(a) != f(b)

Другими словами, если два значения, введенные в одну и ту же функцию, дают один и тот же результат, то функция НЕинъективна. Однако, если все возможные значения, вводимые в функцию, возвращают уникальные выходные данные, то мы можем сказать, что функция инъективна.

Как же доказать, что функция инъективна?

Нам нужно показать, что для ВСЕХ входных данных, которые может принимать функция, все возможные выходные данные будут уникальными. Таким образом, два ввода будут НЕ сопоставляться с одним и тем же числом.

Здесь важно то, что мы демонстрируем доказательство, работающее с произвольными значениями. Мы хотим показать, что если a != b, то f(a) != f(b). Другими словами, если выходы функции различны, то это означает, что входы не равны.

Бывший. f : N → N определено на f(x) = x²

Помните, это говорит о том, что наша функция будет принимать натуральные числа в качестве входных данных и будет выводить натуральные числа.

Вот как будет проходить наше доказательство:

Зафиксируйте произвольные значения a и b в множестве натуральных чисел.

f(a) = f(b)

a² = b²

|a| = |b|

Обратите внимание, мы берем только положительный корень, так как находимся в множестве натуральных чисел. Как видите, эта функция инъективна, поскольку два разных значения всегда будут отображаться в разные выходные данные, как видно, a не равно b.

Как же доказать, что функция не является инъективной?

Чтобы доказать это, мы хотим показать, что два возможных входа сопоставляются с одним и тем же выходом.

Бывший. f : Z→ N определяется как f(x) = x² + 1

Помните, это говорит о том, что наша функция будет принимать целые числа в качестве входных данных и выводить натуральные числа.

Вот как будет проходить наше доказательство:

Пусть а = 1 и б = -1

f(1) = ¹² + 1

= 2

f(-1) = (-1)² + 1

= 2

Поскольку и 1, и -1 выводят 2, эта функция НЕ является инъективной.

Сюръективный

Функция также может быть сюръективной (иначе называемой on).

Если у нас есть функция f: a → b, вспомните, что a представляет собой набор возможных входных данных, которые принимает функция, а b представляет собой набор всех возможных выходных данных, которые может иметь функция.

Функция сюръективна, если для всех возможных значений множества B существует значение множества A, которое соответствует значению множества B.

Важно отметить, что функция может быть сюръективной и неинъективной одновременно. Это важно, потому что у сюръективной функции может быть несколько входных параметров, которые сопоставляются с одним и тем же выходом, и важно, чтобы все возможные выходы имели входное значение.

Давайте покажем пример сюръективной функции:

Бывший. f : R → R определяется как f(x) = x³

Напомним, что это означает, что функция будет принимать действительные числа в качестве входных и выходных вещественных чисел.

В этих доказательствах нам дано f(x) = …, и мы хотим найти x. Затем мы подставим x в f(x) и посмотрим, равно ли оно y. Если это так, то наша функция сюръективна.

f(x) = x³, я заменяю f(x) на y (то же самое) просто для ясности. Так:

y = x³

³√y = x

Теперь давайте определим x как x =³√y

f(³√y) = (³√y)³

Кубический корень будет аннулирован, и у нас останется y.

f(³√y) = y

Это показывает, что наша функция сюръективна.

Теперь давайте докажем, что функция НЕ является сюръективной.

Бывший. f: N → N определяется как f(x) = x²

Напомним, что это означает, что функция будет принимать натуральные числа в качестве входных данных и также будет выводить натуральные числа.

Мы пытаемся показать, что эта функция не является сюръективной, поэтому нам нужно придумать контрпример.

Вот как будет проходить наше доказательство:

пусть f(x) = 3

3 = x²

√3 = x

Однако √3 НЕ существует в наборе натуральных чисел, что означает, что выход 3 не имеет возможного входного отображения на него, поэтому наша функция не сюръективна.

Биективный

Когда функция одновременно инъективна и сюръективна, она также считается биективной. Чтобы доказать это, нам просто нужно показать, что функция одновременно инъективна и сюръективна.

TLDR: докажите, что каждое значение, введенное в функцию, соответствует уникальному результату, и докажите, что все возможные результаты имеют возможный вход.

Хорошим примером является определение f: Z → Z на f(x) = x.

Напомним, что наша функция будет принимать на вход и на выход целые числа.

Доказать его инъективность так же просто, как зафиксировать два произвольных значения.

Зафиксируем произвольные a и b в множестве Z.

f(a) = a

f(b) = b

как видите, a и b не равны. Если вы введете любое число, вывод также будет таким же, а это означает, что никакие два разных числа не могут иметь одинаковый вывод.

Если мы докажем, что оно сюръективно, то увидим, какой вход x будет равен y. Это так же просто, как ввести y в f(x).

Определить х как х = у

f(y) = y

Таким образом, наша функция сюръективна, потому что все возможные входные данные отображаются сами на себя, и поэтому все уникальные входные данные будут иметь уникальные выходные данные.

И мы только что доказали, что функция биективна!

Быстрая заметка✨

Привет, я Эшли! Прошло некоторое время, но я, наконец, вернулся к публикации большего количества статей в областях, которые меня интересуют. Мне нравится писать здесь, это позволяет мне узнавать так много нового и практиковать свои навыки в областях, в которых я хочу преуспеть.

Сейчас я первокурсник Университета Карнеги-Меллона, изучаю информатику, и в настоящее время меня интересуют программирование, математика и неврология. Я планирую опубликовать больше статей на эти темы, так что следите за обновлениями!

Моя электронная почта: [email protected]. Я только что проверил это недавно и вернулся ко многим сообщениям. Если у вас есть какие-либо вопросы о чем-либо, я постараюсь на них ответить. Я ценю все положительные сообщения, которые мне прислали, и теперь я определенно буду более активным по электронной почте. Я люблю общаться с людьми и узнавать о вещах от других, поэтому, пожалуйста, протяните руку!!

Увидимся скоро :)

Эшли ❤