Часть 3. Полное пошаговое руководство по нахождению обратной матрицы с использованием элементарных операций над строками и определителей матрицы.
В предыдущей статье объяснялись различные матричные операции и соответствующие операции. В этой статье мы подробно рассмотрим два разных метода получения обратной матрицы с помощью элементарных операций со строками и с использованием определителей матрицы.
Обратная матрица
Обратная матрица похожа на обратную величину числа, так что умножение числа на обратную ему дает 1 > и умножение матрицы на обратную дает единичную матрицу. Однако, чтобы найти обратную матрицу, матрица должна быть квадратной матрицей с одинаковым количеством строк и столбцов. Существует два основных метода нахождения обратной матрицы:
Способ 1: использование элементарных операций со строками
Вспомнил три типа операций со строками, используемые для решения линейных систем: перестановка, изменение масштаба и поворот. Эти операции можно записать в элементарных матрицах. А левое умножение с расширенной матрицей линейной системы представляет собой элементарные операции со строками.
Перестановка матрицы: поменять местами строки i и j единичной матрицы.
Матрица масштабирования: если операция k умножается на уравнение i, поместите число k в позицию (строка=i, столбец=i) единичной матрицы.
Сводная матрица: если к уравнению j добавляется кратное уравнению i, поместите число k в позицию (строка=j, столбец=i) единичной матрицы.
Теперь мы можем использовать элементарные матрицы, чтобы найти обратную матрицу.
- Если A обратим, то Eₖ…E₂E₁A = I
- Умножьте обе части на обратную сторону A, чтобы получить:
- Последовательность элементарных операций над строками может свести A к I, и та же самая последовательность элементарных операций над строками превращает I в обратную матрицу A.
- Если A является обратимой матрицей, то для каждого вектор-столбца b система уравнений Ax = b имеет ровно одно решение.
Пример нахождения инверсии A с использованием операций со строками:
Способ 2: Использование определителя матрицы
Определитель и обратная матрица 2 x 2
Определитель матрицы, det(A) или |A|, является полезным значением для квадратной матрицы. Для приведенной ниже матрицы A 2 на 2 det(A) = ad — bc, и A обратима, если det(A) ≠ 0. Для матрицы 2 x 2 обратная матрица определяется выражением :
Однако, чтобы вычислить определитель матрицы размером больше 2 x 2, нам нужно получить ее миноры и кофакторы.
Миноры и кофакторы
Для квадратной матрицы A минор элемента aᵢⱼ, Mᵢⱼ, определяется как определитель подматрицы, образованной удалением i-й строки и j-го столбца из матрицы A и сомножителя записи aᵢⱼ, Cᵢⱼ выглядит следующим образом:
Расширение кофактора для получения определителя матрицы
Определитель квадратной матрицы можно вычислить, умножив записи в любой строке или столбце на соответствующие коэффициенты и сложив полученные произведения:
Наконец, обратная матрица может быть рассчитана путем умножения транспонированной матрицы кофакторовна1/детерминант.
Краткое содержание
Обратная матрица — полезный инструмент для решения различных задач линейной алгебры. Одним из приложений, показанных в этом посте, является решение системы линейных уравнений. В этом посте вы узнаете, как шаг за шагом получить обратную матрицу, используя 2 разных метода, используя элементарные операции со строками и используя определители матрицы.
Рекомендуемое чтение
Рекомендации
[1] Элементарная матрица — Википедия
