Реализация градиентного спуска в питоне

Различные варианты градиентного спуска(Нажмите здесь)

Реализация оптимизации роя частиц (нажмите здесь)

Реализация градиентного спуска в контроле качества для минимизации «уровня брака — Python (нажмите здесь)»

Градиентный спуск — это популярный алгоритм оптимизации, используемый в машинном и глубоком обучении для поиска оптимальных параметров или весов для данной модели. Целью градиентного спуска является минимизация функции стоимости, которая измеряет разницу между прогнозируемым результатом модели и фактическим результатом.

Алгоритм работает путем итеративной настройки параметров модели в направлении наискорейшего спуска градиента функции стоимости, пока не будет достигнут минимум. Градиент вычисляется путем взятия частных производных функции стоимости по каждому параметру.

Существует три основных варианта градиентного спуска:

Пакетный градиентный спуск. В этом варианте градиент вычисляется для всего набора данных, а параметры обновляются после каждой эпохи.
Стохастический градиентный спуск. В этом варианте градиент вычисляется на одном обучающем примере, а параметры обновляются после каждого примера.
Мини-пакетный градиентный спуск. В этом варианте градиент вычисляется на небольшом подмножестве обучающих данных, а параметры обновляются после каждого мини-пакета.

Градиентный спуск используется в различных приложениях машинного обучения, таких как линейная регрессия, логистическая регрессия и нейронные сети, для оптимизации параметров модели и повышения ее точности. Это фундаментальный алгоритм машинного обучения, необходимый для обучения сложных моделей с большими объемами данных.

Формула:

Во время каждой итерации градиентного спуска параметры θ обновляются в соответствии с приведенной выше формулой, где ∇J(θ) оценивается с использованием текущих значений θ. Это означает, что на каждой итерации алгоритм делает шаг в направлении наискорейшего спуска функции стоимости с размером шага, определяемым скоростью обучения. Скорость обучения определяет размер шага, предпринимаемого на каждой итерации, и ее необходимо тщательно выбирать, чтобы гарантировать сходимость алгоритма к оптимальному решению.

Практический пример использования градиентного спуска:

Градиентный спуск — это фундаментальный алгоритм оптимизации в машинном обучении, который имеет множество практических вариантов использования. Вот некоторые примеры:

Линейная регрессия. В линейной регрессии используется градиентный спуск для поиска оптимальных коэффициентов, минимизирующих сумму квадратов ошибок между прогнозируемыми и фактическими значениями.
Логистическая регрессия. В логистической регрессии градиентный спуск используется для поиска оптимальных параметров, которые минимизируют функцию кросс-энтропийных потерь, которая измеряет разницу между прогнозируемыми вероятностями и фактическими метками.
Нейронные сети. В глубоком обучении градиентный спуск используется для оптимизации весов и смещений нейронной сети за счет минимизации функции потерь, которая измеряет разницу между прогнозируемыми и фактическими результатами.
Машины опорных векторов (SVM). В SVM используется градиентный спуск для поиска оптимальной гиперплоскости, которая разделяет точки данных на разные классы с максимальным запасом.
Уменьшение размерности. В таких методах, как анализ основных компонентов (PCA), градиентный спуск используется для поиска оптимальных собственных векторов, которые охватывают максимальную дисперсию данных.
Кластеризация. В алгоритмах кластеризации, таких как k-mean, градиентный спуск используется для оптимизации центроидов кластеров путем минимизации суммы квадратов расстояний между точками данных и назначенными им центроидами кластеров.

В целом, градиентный спуск — это универсальный алгоритм оптимизации, который широко используется в различных приложениях машинного обучения для поиска оптимальных параметров модели и повышения ее точности.

Этапы реализации:

Cвыберите модель и функцию стоимости:

Выберите модель, которую вы хотите оптимизировать, например линейную регрессию, логистическую регрессию или нейронную сеть.
Выберите функцию стоимости, которая измеряет разницу между прогнозируемым выходом и фактическим выходом, например среднеквадратичную ошибку, кросс-энтропийную потерю или потерю двоичного журнала.

2. Инициализируйте параметры:

Установите начальные значения для параметров, которые вы хотите оптимизировать, таких как веса и смещения модели.

3. Вычислите градиент:

Вычислите градиент функции стоимости по каждому параметру, взяв частную производную функции стоимости по каждому параметру.

4. Обновите параметры:

Отрегулируйте параметры в направлении отрицательного градиента, умножив его на скорость обучения, которая контролирует размер обновления.

5. Повторяйте до схождения:

Повторяйте указанные выше три шага до тех пор, пока функция стоимости не сойдется к минимуму или удовлетворительному порогу, такому как небольшое изменение функции стоимости между итерациями.

6. Оцените модель:

Протестируйте обученную модель на отдельном наборе данных, чтобы оценить ее производительность, например точность, воспроизводимость или показатель F1.

Обратите внимание, что существуют различные варианты градиентного спуска, такие как пакетный градиентный спуск, стохастический градиентный спуск и мини-пакетный градиентный спуск, которые имеют разные вычислительные свойства и свойства сходимости. Детали реализации также могут различаться в зависимости от конкретной модели и используемой библиотеки.

Реализация:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

# Define the function to be minimized (a simple quadratic function)
def f(x, y):
    return x**2 + y**2

# Define the partial derivatives of the function with respect to x and y
def df_dx(x, y):
    return 2 * x

def df_dy(x, y):
    return 2 * y

# Define the gradient descent algorithm
def gradient_descent(start_x, start_y, learning_rate, num_iterations):
    # Initialize the parameters
    x = start_x
    y = start_y
    history = []
    
    # Perform the gradient descent iterations
    for i in range(num_iterations):
        # Calculate the gradients
        grad_x = df_dx(x, y)
        grad_y = df_dy(x, y)
        
        # Update the parameters
        x = x - learning_rate * grad_x
        y = y - learning_rate * grad_y
        
        # Save the history of the parameters
        history.append((x, y, f(x, y)))
    
    return x, y, f(x, y), history

# Define the meshgrid for plotting the function
x_range = np.arange(-10, 10, 0.1)
y_range = np.arange(-10, 10, 0.1)
X, Y = np.meshgrid(x_range, y_range)
Z = f(X, Y)

# Perform gradient descent and plot the results
start_x, start_y = 8, 8
learning_rate = 0.1
num_iterations = 20
x_opt, y_opt, f_opt, history = gradient_descent(start_x, start_y, learning_rate, num_iterations)

fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')
ax.plot_surface(X, Y, Z, cmap='coolwarm')
ax.scatter(*zip(*history), c='r', marker='o')
ax.set_xlabel('x')
ax.set_ylabel('y')
ax.set_zlabel('f(x, y)')
plt.show()

Эта реализация определяет простую квадратичную функцию f(x, y) = x^2 + y^2 и ее частные производные df_dx(x, y) = 2x и df_dy(x, y) = 2y. Затем он определяет функцию gradient_descent(), которая принимает начальную точку (start_x, start_y), скорость обучения learning_rate и количество итераций num_iterations в качестве входных данных и возвращает оптимальную точку (x_opt, y_opt) и минимальное значение f_opt функции, а также историю значений параметров. history во время итераций. Сетка сетки определяется для построения графика функции, а результаты алгоритма градиентного спуска отображаются на трехмерном графике с использованием matplotlib

Плюсы:

Гибкость: градиентный спуск можно использовать с различными типами моделей и функций потерь, что делает его универсальным алгоритмом оптимизации.
Эффективность: Градиентный спуск эффективен в вычислительном отношении и может обрабатывать большие наборы данных с многочисленными функциями.
Конвергенция: градиентный спуск гарантирует сходимость к минимуму при достаточно малой скорости обучения и достаточном количестве итераций.
Масштабируемость. Градиентный спуск можно распараллелить между несколькими процессорами или узлами, что позволяет сократить время обучения.

Минусы:

Чувствительность к скорости обучения. Производительность градиентного спуска очень чувствительна к выбору скорости обучения, которую сложно настроить.
Локальные минимумы: градиентный спуск может застрять в локальных минимумах, которые могут не быть глобальным минимумом.
Переобучение. Градиентный спуск может переобучить данные обучения, если регуляризация не применяется или если модель слишком сложна.
Масштабирование: градиентный спуск может потребовать масштабирования функций, чтобы гарантировать, что каждая функция вносит одинаковый вклад в градиент, что может занять много времени на этапе предварительной обработки.

В целом, градиентный спуск — это мощный алгоритм оптимизации со многими преимуществами, но на его производительность могут влиять различные факторы, включая скорость обучения, выбор алгоритма оптимизации и сложность модели.

Другие связанные статьи —