Демистификация байесовского анализа в Джулии Тьюринг: причудливое путешествие с помощью передовых методов и практических примеров

Приветствую вас, коллеги-энтузиасты данных! Вы когда-нибудь оказывались тонущими в море вероятностных распределений и мечтали о спасательном круге? Что ж, не бойтесь, сегодня мы погружаемся в чудесный мир байесовского анализа и методов выборки с помощью Джулии Тьюринг — спасателя в огромном океане статистики! Приготовьтесь к захватывающему и веселому путешествию, пока мы исследуем глубины байесовского вывода с нашей верной подругой Джулией Тьюринг. Итак, возьмите чашку кофе, поправьте очки (если вы их носите) и давайте вместе отправимся в это байесовское приключение!

Краткое введение в байесовскую страну чудес

Прежде чем мы начнем, давайте освежим наши воспоминания кратким изложением того, что такое байесовский анализ. Вы можете вспомнить преподобного Томаса Байеса, который еще в 18 веке выполнял божественную миссию, чтобы помочь нам осмыслить мир с помощью вероятностей. Его блестящая байесовская теорема с тех пор стала основой современного продвинутого байесовского анализа.

В двух словах, байесовский анализ помогает нам обновлять наши убеждения (или «априорные») в свете новых данных («вероятность»), чтобы прийти к более точному пониманию («апостериорные»). Это похоже на обновление ваших предпочтений в отношениях после нескольких катастрофических встреч, но с математикой!

Приветствуем нашего героя — Джулию Тьюринг

Теперь, когда мы все на одной байесовской странице, давайте поприветствуем нашу юбиляршу, Джулию Тьюринг! Эта фантастическая библиотека сочетает в себе лучшее из двух миров: элегантность языка программирования Julia и мощную систему вероятностного программирования Тьюринга. Вместе с Джулией Тьюринг мы готовы преодолеть любую байесовскую проблему, которая встретится на нашем пути!

Давайте углубимся в теорию удивительности Джулии Тьюринг. Julia — это высокоуровневый, высокопроизводительный язык динамического программирования для технических вычислений, а Turing — библиотека вероятностного программирования, позволяющая определять вероятностные модели и выполнять на их основе байесовский вывод. Вместе они образуют пакет Julia Turing, который может похвастаться впечатляющей производительностью и гибкостью.

Вероятностное программирование — это парадигма, сочетающая вероятностные модели с языками программирования. Он позволяет писать модели, описывающие, как данные генерируются с использованием вероятностных распределений, что делает его невероятно мощным инструментом для байесовского анализа. Turing, система вероятностного программирования, лежащая в основе Julia Turing, позволяет определять модели с использованием знакомого синтаксиса языка Julia и упрощает байесовский вывод.

Основные функции Джулии Тьюринг включают в себя:

  1. Гибкость. Джулия Тьюринг позволяет определять широкий спектр вероятностных моделей, от простых линейных регрессий до сложных иерархических моделей и даже моделей в пространстве состояний и гауссовских процессов.
  2. Алгоритмы выборки. Он предлагает обширный набор алгоритмов выборки, включая Метрополис-Гастингс, гамильтониан Монте-Карло, выборку Гиббса и другие. Вы можете смешивать и сочетать эти алгоритмы в соответствии с вашей конкретной задачей, что дает вам возможность настроить процесс байесовского вывода.
  3. Производительность. Джулия Тьюринг создана для скорости. Благодаря компиляции Just-In-Time (JIT) Джулии и эффективной реализации Тьюринга вы можете быстро запускать сложные модели и алгоритмы выборки даже на больших наборах данных.
  4. Совместимость: Julia Turing легко интегрируется с другими пакетами Julia, позволяя вам использовать всю мощь экосистемы Julia для обработки данных, визуализации и многого другого.

Представлены передовые байесовские методы

Держитесь за свои шляпы, потому что скоро все станет байесовским! Мы рассмотрим некоторые продвинутые методы, такие как метод Монте-Карло с цепями Маркова (MCMC), метод гамильтониана Монте-Карло (HMC) и выборка Гиббса, которые помогут нам ближе познакомиться с нашими любимыми апостериорными распределениями.

Цепь Маркова Монте-Карло (MCMC): MCMC – это класс алгоритмов, используемых для выборки из распределения вероятностей, особенно когда прямая выборка затруднена или невозможна. Он генерирует последовательность выборок (формируя цепь Маркова), где каждая выборка зависит только от предыдущей. Цепочка строится таким образом, что после достаточного количества итераций (называемого периодом «приработки») выборки приблизительно вытягиваются из целевого распределения. Методы MCMC, такие как алгоритм Метрополиса-Гастингса, широко используются в байесовской статистике для оценки апостериорных распределений параметров модели.

Гамильтоновский метод Монте-Карло (HMC): HMC – это тип алгоритма MCMC, который использует геометрию целевого распределения для повышения эффективности процесса выборки. Он вводит вспомогательную переменную, называемую импульсом, которая получается из градиента логарифмической плотности целевого распределения. Алгоритм моделирует динамику движения частицы в ландшафте потенциальной энергии, определяемом целевым распределением. HMC использует гамильтонову механику, чтобы предлагать новые образцы, которые затем принимаются или отклоняются на основе критерия Метрополиса-Гастингса. Основное преимущество HMC по сравнению с другими методами MCMC заключается в том, что он позволяет эффективно исследовать сложные многомерные распределения с сильными корреляциями между переменными.

Выборка Гиббса. Выборка Гиббса — это еще один алгоритм MCMC, который упрощает процесс выборки, разбивая его на ряд условных шагов выборки. На каждом шаге одна переменная выбирается из ее полного условного распределения, в то время как другие переменные остаются фиксированными. Этот процесс повторяется, циклически перебирая все переменные, пока цепочка не сойдется к целевому распределению. Выборка Гиббса особенно полезна, когда легко выбрать полные условные распределения и когда имеешь дело с условно сопряженными моделями (где априорное и апостериорное распределения относятся к одному и тому же семейству). Одним из основных преимуществ выборки Гиббса является то, что она устраняет необходимость в настройке параметров, таких как размер шага, которые часто требуются в других методах MCMC, таких как Metropolis-Hastings и HMC.

Начнем с основ: определение байесовской модели в Джулии Тьюринг. Мы создадим простую модель для оценки среднего значения и стандартного отклонения показателей привлекательности домашних животных.

using Turing, MCMCChains

@model function pet_cuteness_model(cuteness_scores)
    μ ~ Normal(0, 100)
    σ ~ truncated(Normal(0, 100), 0, Inf)
    
    for score in cuteness_scores
        score ~ Normal(μ, σ)
    end
end

cuteness_scores = [8, 9, 6, 7, 9, 8, 6, 7, 8, 9]

MCMC — это широко используемый метод выборки для получения выборок из сложных вероятностных распределений (таких как наши апостериоры).

Теперь давайте используем MCMC для выборки из апостериорного распределения. Начнем с классического алгоритма Метрополиса-Гастингса.

chain_mh = sample(pet_cuteness_model(cuteness_scores), MH(), 10_000)

Время для магии HMC! Джулия Тьюринг позволяет нам переключать алгоритмы выборки с минимальными усилиями. Давайте посмотрим на гамильтониан Монте-Карло (HMC) в действии.

chain_hmc = sample(pet_cuteness_model(cuteness_scores), HMC(0.01, 10), 10_000)

И, наконец, давайте попробуем выборку Гиббса, которая особенно полезна при работе с условно сопряженными моделями.

chain_gibbs = sample(pet_cuteness_model(cuteness_scores), Gibbs(HMC(0.01, 10, :μ), HMC(0.01, 10, :σ)), 10_000)

И угадай что? Джулия Тьюринг делает все это похожим на прогулку в парке! Интуитивно понятный синтаксис и эффективная производительность превращают его в забавную байесовскую игровую площадку, где вы можете с легкостью опробовать различные методы выборки.

Реальное байесовское приключение

Чтобы продемонстрировать мастерство Джулии Тьюринг, мы рассмотрим пример из реальной жизни, который включает в себя предсказание победителя конкурса «Самый очаровательный питомец». Мы проверим наши навыки байесовского анализа, используя сокровищницу фотографий милых домашних животных, отзывы владельцев и множество угощений, чтобы подпитывать наш анализ.

Предполагая, что мы собрали оценки привлекательности для нескольких домашних животных, теперь мы можем проанализировать результаты и предсказать победителя, используя нашу байесовскую модель.

# Concatenate the chains and remove the warmup samples
chains = chain_mh + chain_hmc + chain_gibbs
chains = chains[1000:end, :, :]

# Compute the posterior mean and standard deviation
μ_posterior_mean = mean(chains[:μ])
σ_posterior_mean = mean(chains[:σ])

# Predict the cuteness score of a new pet
new_pet_score = rand(Normal(μ_posterior_mean, σ_posterior_mean))

С помощью удобных инструментов Джулии Тьюринг мы решим эту байесовскую задачу и выйдем победителями, предсказав со статистической точностью самого очаровательного питомца!

Заключение

И вот оно, народ! Наше волнующее путешествие по продвинутому байесовскому анализу и методам выборки в Джулии Тьюринг подошло к концу. Благодаря новым знаниям, которые вы приобрели сегодня, вы хорошо подготовлены к решению любых байесовских задач и поразите своих друзей своей статистической смекалкой.

Как вы видели, Джулия Тьюринг невероятно легко определяет вероятностные модели, экспериментирует с различными алгоритмами выборки и анализирует результаты. Мы изучили методы выборки Метрополиса-Гастингса, Гамильтона Монте-Карло и Гиббса и применили их к реальному примеру предсказания победителя конкурса «Самый очаровательный питомец».

Так что вперед, дорогой читатель, и раскрой силу Джулии Тьюринг в своих начинаниях, основанных на данных. Помните, как однажды сказал (вероятно) великий преподобный Байес: «С великой байесовской силой приходит и большая ответственность!» Счастливого Байесовского!