Введение

Динамическое программирование — это метод решения проблем, который разбивает сложные проблемы на более мелкие подзадачи и решает их систематическим образом. Это позволяет проводить эффективные вычисления, избегая избыточных вычислений одних и тех же подзадач. Он основан на принципах оптимальной подструктуры и перекрывающихся подзадач и может быть реализован с использованием либо нисходящего, либо восходящего подхода. Динамическое программирование широко используется в различных областях, таких как информатика, экономика и финансы, для решения ряда оптимизационных задач.

В целом, динамическое программирование — это мощный и эффективный метод решения сложных задач оптимизации. Он разбивает большие задачи на более мелкие подзадачи, которые решаются только один раз, а затем сохраняются в памяти, что сокращает время вычислений. Его широкий спектр приложений и универсальность делают его ценным инструментом во многих областях, а его принципы оптимальной подструктуры и перекрывающихся подзадач являются фундаментальными для многих задач оптимизации.

Почему динамическое программирование полезно для задач оптимизации?

Динамическое программирование полезно для задач оптимизации, поскольку оно позволяет решать сложные задачи эффективным и систематическим образом. Задачи оптимизации часто включают в себя поиск наилучшего решения из набора возможных решений, что может занять очень много времени и средств. Разбивая проблему на более мелкие подзадачи и решая их разумным образом, динамическое программирование может значительно сократить время и ресурсы, необходимые для поиска оптимального решения.

Ключевое преимущество динамического программирования для задач оптимизации заключается в том, что оно позволяет избежать избыточного вычисления одних и тех же подзадач. Поскольку подзадачи связаны друг с другом и многократно встречаются при вычислении оптимального решения, динамическое программирование позволяет решить каждую подзадачу только один раз, а затем сохранить ее решение в памяти. Это значительно сокращает время вычислений и ресурсы, необходимые для решения более крупной задачи, и позволяет нам эффективно исследовать пространство возможных решений. В целом, динамическое программирование — это мощная техника для эффективного и действенного решения сложных задач оптимизации.

Основные этапы разработки алгоритма динамического программирования

  1. Определите проблему. Четко определите проблему и цель задачи оптимизации. Определите задействованные переменные и ограничения.
  2. Сформулируйте проблему как рекурсивную функцию. Разбейте проблему на более мелкие подзадачи, которые можно решить рекурсивно. Сформулируйте задачу как рекурсивную функцию, которая принимает входные переменные и возвращает оптимальное решение.
  3. Определите свойство оптимальной подструктуры: определите свойство, которое позволяет решить более крупную проблему, комбинируя решения ее подзадач. Это свойство известно как свойство оптимальной подструктуры.
  4. Определить свойство перекрывающихся подзадач: определить свойство, позволяющее избежать избыточного вычисления одних и тех же подзадач. Это свойство известно как свойство перекрывающихся подзадач.
  5. Создайте таблицу запоминания или определите отношение рекуррентности. Если вы используете нисходящий или восходящий подход, создайте таблицу запоминания для хранения решений подзадач или определите отношение повторения, которое вычисляет решение. к большей проблеме от решений ее подзадач.
  6. Реализация алгоритма. Напишите код для реализации алгоритма динамического программирования, используя подход «сверху вниз» (запоминание) или подход «снизу вверх» (итеративный).
  7. Анализ временной и пространственной сложности. Анализ временной и пространственной сложности алгоритма, чтобы убедиться, что он эффективен и масштабируем для больших входных данных.
  8. Протестируйте и подтвердите решение. Протестируйте алгоритм на разных входных данных и убедитесь, что он выдает правильные выходные данные для каждого входного сигнала.

Примеры задач оптимизации, которые можно решить с помощью динамического программирования

1. Проблема с рюкзаком:

Задача о рюкзаке — классическая задача оптимизации в информатике и исследовании операций. Он включает в себя упаковку рюкзака предметами разного веса и стоимости таким образом, чтобы общий вес не превышал заданную вместимость, при этом общая стоимость предметов в рюкзаке была максимальной.

Вот пример задачи о рюкзаке:

Предположим, вы вор, пытающийся украсть вещи из магазина, и у вас есть рюкзак вместимостью 10 фунтов. В магазине есть следующие предметы с соответствующими весами и ценностями:

Ваша цель состоит в том, чтобы максимизировать общую стоимость предметов, которые вы можете украсть, не превышая вместимость рюкзака.

Чтобы решить эту проблему с помощью динамического программирования, мы можем использовать таблицу для хранения максимальной стоимости предметов, которые мы можем упаковать для различной вместимости рюкзака. Начнем с инициализации таблицы 0 для рюкзака вместимости 0:

Затем по каждому предмету думаем, включать его в рюкзак или нет. Если мы включаем предмет, мы уменьшаем вместимость рюкзака на вес предмета и добавляем его стоимость к общей стоимости. Если мы не включаем элемент, мы оставляем емкость и стоимость без изменений. Затем мы обновляем таблицу максимальным значением для каждой емкости:

Оптимальное решение находится в правом нижнем углу таблицы, что соответствует рюкзаку вместимостью 10 и общей стоимостью 19. Чтобы определить, какие предметы включить в рюкзак, мы можем проследить таблицу в обратном направлении от оптимального решения. и включите элементы, которые были выбраны.

В этом примере оптимальный рюкзак содержит предметы B, C и D с общим весом 12 и общей стоимостью 27.

2. Самая длинная общая проблема подпоследовательности:

Задача о самой длинной общей подпоследовательности (LCS) — это классическая задача динамического программирования, которая включает в себя поиск самой длинной подпоследовательности, общей для двух или более последовательностей. Подпоследовательность — это последовательность, которая может быть получена из другой последовательности путем удаления некоторых или ни одного из ее элементов без изменения порядка оставшихся элементов.

Например, рассмотрим две последовательности «ABBCBDAB» и «BDCABA». LCS этих двух последовательностей — «BCBA», представляющая собой подпоследовательность, общую для обеих последовательностей и имеющую максимальную длину среди всех общих подпоследовательностей.

Чтобы решить проблему LCS с помощью динамического программирования, мы можем использовать таблицу запоминания для хранения решений подзадач. Таблица запоминания имеет одну строку для каждого элемента в первой последовательности и один столбец для каждого элемента во второй последовательности. Запись в строке i и столбце j таблицы представляет длину LCS первых i элементов первой последовательности и первых j элементов второй последовательности.

Для заполнения таблицы мемоизации мы можем использовать следующее рекуррентное соотношение:

- Если i-й элемент первой последовательности совпадает с j-м элементом второй последовательности, то LCS первых i элементов первой последовательности и первых j элементов второй последовательности равен 1 плюс LCS из первых i-1 элементов первой последовательности и первых j-1 элементов второй последовательности.
- Если i-й элемент первой последовательности не совпадает с j-м элементом второй последовательности , то LCS первых i элементов первой последовательности и первых j элементов второй последовательности равна максимуму LCS первых i-1 элементов первой последовательности и первых j элементов второй последовательности , и LCS первых i элементов первой последовательности и первых j-1 элементов второй последовательности.

Используя это рекуррентное отношение, мы можем заполнить таблицу запоминания сверху вниз и слева направо. Последняя запись в правом нижнем углу таблицы представляет собой длину LCS двух последовательностей.

Например, для двух последовательностей «ABBCBDAB» и «BDCABA» таблица запоминания будет выглядеть так:

                        |   | B | D | C | A | B | A |
                      --|---|---|---|---|---|---|---|
                        | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
                      A | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
                      B | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 2 | 2 |
                      C | 0 | 1 | 1 | 2 | 2 | 2 | 2 |
                      B | 0 | 1 | 1 | 2 | 2 | 3 | 3 |
                      D | 0 | 1 | 2 | 2 | 2 | 3 | 3 |
                      A | 0 | 1 | 2 | 2 | 3 | 3 | 4 |
                      B | 0 | 1 | 2 | 2 | 3 | 4 | 4 |

LCS двух последовательностей имеет длину 4, которая находится в правом нижнем углу таблицы. Чтобы найти саму LCS, мы можем вернуться назад по таблице, начиная с нижнего правого угла и следуя по пути, который ведет к максимальной длине LCS. В этом случае путь будет «БАБА». Следовательно, LCS двух последовательностей «ABBCBDAB» и «BDCABA» представляет собой «BABA».

3. Задача о кратчайшем пути:

Задача о кратчайшем пути — это классическая задача оптимизации, которая включает в себя поиск кратчайшего пути между двумя узлами в графе. Эта проблема обычно встречается в реальных приложениях, таких как сетевая маршрутизация, логистика и транспорт.

Рассмотрим простой пример графа с четырьмя узлами, помеченными A, B, C и D, а ребра между ними имеют веса, как показано на следующем рисунке:

                                  2       4
                             A ------ B ------ C
                             |       |       |
                             1       3       2
                             |       |       |
                             D ------ E ------ F
                                  5       1

Предположим, мы хотим найти кратчайший путь от узла A к узлу F. Мы можем использовать алгоритм Дейкстры, общий алгоритм, используемый для решения задачи о кратчайшем пути. Алгоритм начинается с исходного узла A и назначает предварительное расстояние каждому узлу на основе расстояния от исходного узла. Затем он итеративно выбирает узел с наименьшим предварительным расстоянием и обновляет предварительные расстояния соседних узлов. Этот процесс продолжается до тех пор, пока алгоритм не достигнет целевого узла F.

Используя алгоритм Дейкстры, мы можем вычислить кратчайший путь от A до F, который представляет собой A-B-C-F с общим весом 7. Алгоритм работает, выбирая узел с наименьшим предварительным расстоянием на каждой итерации и соответствующим образом обновляя предварительные расстояния его соседей. . В этом примере алгоритм назначает предварительные расстояния 0, 2, бесконечность и бесконечность узлам A, B, C и D соответственно на первой итерации. В последующих итерациях алгоритм обновляет предварительные расстояния узлов C и F, пока не достигнет целевого узла F с общим весом 7.

В целом задача поиска кратчайшего пути является важной задачей оптимизации, которую можно решить с помощью алгоритма Дейкстры или других алгоритмов, таких как алгоритм Беллмана-Форда или алгоритм A*. Эти алгоритмы имеют множество реальных приложений в таких областях, как транспорт, логистика и сетевая маршрутизация.

4. Проблема резки стержня:

Задача о перерезании стержня — классическая задача оптимизации в динамическом программировании. Задача состоит в том, чтобы разрезать стержень заданной длины на более мелкие части, чтобы максимизировать общую стоимость частей.

Например, предположим, что у нас есть стержень длиной 5 и следующая таблица цен на стержень разной длины:

Чтобы максимизировать общую стоимость стержня, нам нужно определить лучший способ разрезать стержень на более мелкие части. Мы можем решить эту проблему с помощью динамического программирования.

Сначала сформулируем задачу как рекурсивную функцию, которая принимает на вход длину стержня и возвращает максимальное значение, которое можно получить, разрезая стержень на куски разной длины. Разобьем задачу на более мелкие подзадачи, рассмотрев все возможные способы разрезания стержня на куски разной длины.

Затем мы определяем свойство оптимальной подструктуры, которое говорит нам, что оптимальное решение более крупной проблемы может быть определено путем объединения оптимальных решений ее подзадач. В этом случае мы можем использовать таблицу запоминания для хранения решений подзадач и избежать избыточного вычисления одних и тех же подзадач.

Наконец, реализуем алгоритм и вычисляем максимальное значение, которое можно получить, разрезав стержень на куски разной длины. Например, для стержня длиной 5 оптимальное решение состоит в том, чтобы разрезать стержень на части длиной 2 и 3, что в сумме дает 13.

В целом, задача о перерезании стержня является классическим примером того, как динамическое программирование можно использовать для решения задач оптимизации, разбивая их на более мелкие подзадачи и решая их систематическим и эффективным способом.

Анализ производительности динамического программирования

Временная сложность и пространственная сложность алгоритмов динамического программирования:

Временная и пространственная сложность алгоритмов динамического программирования может варьироваться в зависимости от решаемой задачи и конкретной реализации алгоритма. Однако есть некоторые общие рекомендации, которые могут помочь нам понять сложность этих алгоритмов.

Временная сложность. С точки зрения временной сложности алгоритмы динамического программирования часто быстрее, чем другие типы алгоритмов для решения задач оптимизации. Временная сложность алгоритма динамического программирования обычно определяется количеством подзадач, которые необходимо решить, и временем, необходимым для решения каждой подзадачи. Для задач с оптимальной подструктурой общее количество подзадач обычно полиномиально от размера входных данных, и время, необходимое для решения каждой подзадачи, также полиномиально. В результате общая временная сложность алгоритма часто полиномиальна, что означает, что он хорошо масштабируется с размером входных данных.

Пространственная сложность. Что касается пространственной сложности, алгоритмы динамического программирования могут потребовать значительного объема памяти для хранения решений подзадач. Объемная сложность алгоритма динамического программирования обычно определяется количеством подзадач, которые необходимо решить, и объемом памяти, необходимым для хранения решения каждой подзадачи. Для задач с перекрывающимися подзадачами общее количество подзадач может быть экспоненциальным по размеру входных данных, и объем памяти, необходимый для хранения решения каждой подзадачи, также может быть экспоненциальным. В результате общая пространственная сложность алгоритма может быть экспоненциальной, что означает невозможность решения задач большого размера с ограниченной памятью.

На практике алгоритмы динамического программирования часто устанавливают баланс между временной и пространственной сложностью, используя запоминание или табулирование для хранения только тех решений тех подзадач, которые действительно необходимы, а не для хранения всех возможных решений. Таким образом, алгоритм может уменьшить пространственную сложность, сохраняя при этом полиномиальную временную сложность.

Когда использовать динамическое программирование и когда его не использовать:

Когда использовать динамическое программирование:

  • Задача имеет оптимальную подструктуру и перекрывающиеся подзадачи.
  • Одни и те же подзадачи решаются многократно.
  • Проблема может быть разбита на более мелкие подзадачи.
  • Решения подзадач можно сохранять и использовать повторно.
  • Задача имеет рекурсивную формулировку, допускающую использование мемоизации или табуляции.

Когда не следует использовать динамическое программирование:

  • Задача не имеет оптимальной подструктуры или перекрывающихся подзадач.
  • Проблема может быть решена более эффективно с использованием другого алгоритмического метода, такого как жадный алгоритм или подход «разделяй и властвуй».
  • Проблема достаточно проста, чтобы подход грубой силы был достаточным и эффективным.
  • Задача имеет большое количество подзадач, а требования к памяти для хранения всех решений непомерно высоки.

Методы оптимизации для динамического программирования

Техника мемоизации для уменьшения избыточных вычислений:

Мемоизация — это метод, используемый в динамическом программировании для уменьшения количества избыточных вычислений за счет сохранения результатов ресурсоемких вызовов функций и возврата кэшированного результата при повторении одних и тех же входных данных. Другими словами, это способ кэширования промежуточных результатов функции, чтобы мы могли повторно использовать их позже, а не пересчитывать.

Когда функция вызывается с набором входных данных, метод мемоизации сначала проверяет, был ли результат для этих входных данных уже вычислен и кэширован. Если это так, кэшированный результат возвращается напрямую, и функцию не нужно вычислять снова. Если это не так, функция вычисляется как обычно, а результат сохраняется в кэше для использования в будущем. Этот подход может значительно сократить время, необходимое для вычисления функции, особенно если функция требует дорогостоящих вычислений или если одни и те же входные данные используются многократно.

Техника запоминания особенно полезна при решении задач с перекрывающимися подзадачами, когда одни и те же подзадачи решаются несколько раз. Кэшируя результаты этих подзадач, мы можем избежать избыточных вычислений и уменьшить временную сложность алгоритма. Этот метод широко используется во многих алгоритмах динамического программирования, включая последовательность Фибоначчи, задачу о рюкзаке и проблему самой длинной общей подпоследовательности.

Заключение

Динамическое программирование — это мощный метод решения задач оптимизации путем их разбиения на более мелкие подзадачи и решения каждой подзадачи только один раз с использованием решений ранее решенных подзадач. Алгоритмы динамического программирования обладают двумя ключевыми свойствами: оптимальная подструктура и перекрывающиеся подзадачи. Эти свойства позволяют алгоритмам динамического программирования эффективно решать проблемы, которые в противном случае потребовали бы подхода грубой силы.

В целом, динамическое программирование — это мощный метод решения задач оптимизации, имеющих оптимальную структуру и перекрывающиеся подзадачи. Используя динамическое программирование, мы можем разрабатывать эффективные и точные алгоритмы, способные решать широкий спектр задач оптимизации.

===============================================================

Проектирование и анализ алгоритмов Домашнее задание