Комплексный подход к проблемам многорукого бандита
Введение
В области принятия решений в условиях неопределенности проблема многорукого бандита уже давно вызывает интерес как у исследователей, так и у практиков. Эта задача, возникшая из представления об игроке у ряда игровых автоматов (вооруженных бандитах), пытающемся максимизировать свой выигрыш, нашла множество приложений в различных областях, от клинических испытаний и онлайн-рекламы до рекомендательных систем и робототехники. Thomson Sampling, элегантный и эффективный алгоритм, стал мощным средством решения этой проблемы. В этой статье мы углубимся в тонкости Thomson Sampling, выделив лежащую в его основе математическую теорию, этапы вычислений, преимущества и практические приложения.
Проблема многорукого бандита:
Прежде чем углубляться в Thomson Sampling, важно понять основы проблемы многорукого бандита. По своей сути эта проблема вращается вокруг лица, принимающего решения (или агента), сталкивающегося с набором рук, каждая из которых представляет собой выбор или действие, которые могут привести к разным результатам или наградам. Цель агента состоит в том, чтобы максимизировать совокупное вознаграждение за серию испытаний, исследуя руки, чтобы определить наиболее полезный вариант. Дилемма заключается в том, чтобы найти баланс между изучением потенциально лучших вооружений и эксплуатацией вооружений, которые ранее давали многообещающие результаты.
Изучение выборки Томпсона:
Thompson Sampling, названный в честь Уильяма Р. Томпсона, который представил алгоритм в 1933 году, предлагает элегантное решение компромисса между разведкой и эксплуатацией в проблеме многорукого бандита. Он использует байесовский подход, объединяя предыдущие убеждения с наблюдаемыми данными для принятия решений. Алгоритм поддерживает распределение вероятностей или убеждение относительно неизвестных вероятностей вознаграждения, связанных с каждой рукой. Он производит выборку из этих дистрибутивов и выбирает руку с самой высокой выборкой, эффективно уравновешивая исследование и эксплуатацию.
Байесовские правила вывода и обновления:
Байесовский вывод – это статистический подход, который позволяет нам обновлять наши представления о гипотезе или параметре на основе новых фактов или данных. Это позволяет нам включать предыдущие знания или убеждения и обновлять их, используя наблюдаемые данные, что приводит к апостериорным распределениям вероятностей. Математика байесовского вывода основана на теореме Байеса, которая обеспечивает формальную основу для обновления вероятностей.
Теорема Байеса утверждает, что
Апостериорная вероятность (P(H|D)) гипотезы или параметра H с учетом наблюдаемых данных D пропорциональна произведению априорной вероятности (P(H)) и вероятности (P(D|H)) наблюдения данные, заданные гипотезой или параметром.
Математически теорему Байеса можно выразить так:
P(H|D) = (P(D|H) * P(H)) / P(D)
Здесь P(H|D) представляет собой апостериорную вероятность, P(D|H) – вероятность, P(H) – априорную вероятность, а P(D) – вероятность наблюдения данных.
Этапы использования байесовского вывода следующие:
- Укажите априорное распределение. Начните с выражения своих первоначальных убеждений или знаний об интересующей гипотезе или параметре с помощью априорного распределения. Это распределение представляет ваши убеждения перед рассмотрением наблюдаемых данных.
- Соберите и смоделируйте данные. Соберите соответствующие данные, которые будут использованы в вашем анализе. Затем задайте функцию правдоподобия, которая фиксирует вероятность наблюдения данных при различных значениях гипотезы или параметра.
- Вычислите апостериорное распределение. Примените теорему Байеса, чтобы обновить априорное распределение на основе наблюдаемых данных. Умножьте априорное распределение на функцию правдоподобия и нормализуйте результат, чтобы получить апостериорное распределение. Это распределение представляет обновленные представления о гипотезе или параметре после рассмотрения данных.
- Интерпретировать апостериорное распределение. Анализируйте апостериорное распределение, чтобы получить представление о гипотезе или параметре. Распределение предоставляет информацию о неопределенности и диапазоне возможных значений. Вы можете получить сводную статистику, такую как среднее значение или достоверные интервалы, для количественной оценки оценочного значения и неопределенности параметра.
- Итерация и уточнение. Если станут доступны новые данные, повторите процесс, используя апостериорное распределение, полученное в результате предыдущего анализа, в качестве априорного распределения для обновленного анализа. Этот итеративный процесс позволяет непрерывно учиться и обновлять убеждения по мере сбора большего количества данных.
Байесовский вывод обеспечивает гибкую и последовательную основу для включения предшествующих знаний, обновления убеждений и создания вероятностных выводов на основе наблюдаемых данных. Он широко используется в различных областях, включая статистику, машинное обучение, принятие решений и научные исследования.
Правило принятия решения о выборке:
Thomson Sampling использует правило принятия решения о выборке, которое включает выборку выборок из апостериорных распределений вероятности вознаграждения каждой руки. Эти выборки отражают неуверенность агента в отношении истинных вероятностей вознаграждения. Для текущего раунда выбирается рука с самой высокой выбранной наградой. Путем выборки из апостериорных распределений Thomson Sampling по своей сути исследует рукава с более высокой неопределенностью и использует рукава с более высоким ожидаемым вознаграждением, обеспечивая баланс между исследованием и эксплуатацией.
Шаги для выборки Томсона:
- Инициализировать априорные распределения. Начните с назначения соответствующих априорных распределений неизвестным вероятностям вознаграждения, связанным с каждой рукой. Выбор априорных значений зависит от предметной области и имеющихся априорных знаний. Распространенный выбор включает бета-распределение, сопряженное с распределением Бернулли, или неинформативные априорные значения, такие как равномерное распределение.
- Выборка из апостериорного распределения. Для каждого раунда задачи о бандитах выберите значение вероятности вознаграждения для каждой руки из соответствующего апостериорного распределения. Для этого возьмите образцы из предыдущих распределений и обновите их с помощью правила Байеса на основе наблюдаемых вознаграждений.
- Выберите руку для игры: сравните выбранные вероятности вознаграждения для каждой руки и выберите руку с самой высокой выборочной вероятностью вознаграждения. Эта рука будет сыграна в текущем раунде.
- Наблюдайте за наградой. Потяните за выбранную руку и посмотрите на полученную награду. Обновите апостериорное распределение для выбранной руки на основе наблюдаемого вознаграждения. Это можно сделать, применив правило Байеса для получения апостериорного распределения вероятности вознаграждения за руку.
- Повторите шаги 2–4. Повторите этапы выборки, выбора группы и наблюдения за вознаграждением в течение заданного количества раундов или до тех пор, пока не будет выполнен критерий остановки. Апостериорные распределения обновляются итеративно по мере наблюдения большего количества данных, что позволяет алгоритму адаптировать и уточнять свои знания.
- Баланс между разведкой и эксплуатацией.Ключевым преимуществом Thomson Sampling является неотъемлемый баланс между разведкой и эксплуатацией. Путем выборки из апостериорных распределений с большей вероятностью будут изучены рукава с более высокой неопределенностью, а с большей вероятностью будут использованы рукава с более высоким ожидаемым вознаграждением. Этот баланс обеспечивает эффективное обучение и оптимальное принятие решений с течением времени.
- Обновить предыдущие распределения: если новые предварительные знания становятся доступными во время проблемы с бандитами, предыдущие распределения могут быть соответствующим образом обновлены. Это особенно полезно в сценариях, где меняется динамика проблемы или появляется новая информация.
- Оцените эффективность. Оцените эффективность Thomson Sampling, измерив совокупное вознаграждение, полученное за раунды. Сравните его с другими алгоритмами или эвристиками, чтобы оценить его эффективность в максимизации вознаграждения.
Следуя этим шагам, вы сможете внедрить Thomson Sampling для эффективного решения проблем с многорукими бандитами и принятия обоснованных решений в условиях неопределенности.
ШАБЛОН КОДА
НАБОР ДАННЫХ
Преимущества выборки Томсона:
Thomson Sampling предлагает несколько преимуществ перед альтернативными алгоритмами решения задачи о многоруком бандите. Во-первых, он по своей сути является байесовским, что позволяет принципиально моделировать неопределенность и включать в себя предшествующие знания. Это особенно полезно в сценариях, где доступны ограниченные данные. Во-вторых, Thomson Sampling динамически адаптируется к наблюдаемым вознаграждениям, корректируя вероятности выбора руки на основе обновлений апостериорных распределений. Такое адаптивное поведение делает его хорошо подходящим для нестационарных сред. Наконец, эмпирические исследования показали, что Thomson Sampling часто превосходит другие алгоритмы, включая популярные алгоритмы эпсилон-жадности и UCB1, с точки зрения кумулятивного вознаграждения.
Реальные приложения:
Thomson Sampling нашел широкое применение в различных областях. В онлайн-рекламе это позволяет рекламодателям оптимально распределять бюджет между различными объявлениями или платформами, чтобы максимизировать рейтинг кликов или конверсий. В здравоохранении он помогает определить наиболее эффективное лечение в ходе клинических испытаний или персонализированной медицины. Рекомендательные системы выигрывают от Thomson Sampling, динамически выбирая элементы для представления пользователям, повышая вовлеченность и удовлетворенность пользователей. Робототехника и автономные системы также используют Thomson Sampling для управления исследованием и обучением в неизвестных средах.
Заключение:
Thomson Sampling представляет собой мощный и элегантный подход к решению проблемы многорукого бандита. Благодаря использованию байесовского логического вывода и адаптивной выборки он обеспечивает эффективное средство для баланса между исследованием и эксплуатацией. Благодаря широкому спектру применений и эмпирическому успеху Thomson Sampling продолжает оставаться ценным инструментом для принятия решений в условиях неопределенности. По мере развития исследований в этой области мы можем ожидать дальнейших усовершенствований и расширений Thomson Sampling, открывающих новые возможности для решения сложных реальных задач.
