- Сильное неравенство Брунна — Минковского и его эквивалентность условию CD(arXiv)
Автор: Маттиа Маньябоско, Лоренцо Портинале, Томмасо Росси.
Аннотация: В условиях существенно неветвящихся метрических пространств с мерой доказывается эквивалентность между условием размерности кривизны CD(K,N) в смысле Лотта — Штурма — Виллани и вновь введенным понятием, которое мы называем сильным Брунном. — Неравенство Минковского SBM(K,N). Это условие является усилением обобщенного неравенства Брунна — Минковского BM(K,N), которое, как известно, справедливо в пространствах CD(K,N). Наш результат является первым шагом к обеспечению полной эквивалентности между условием CD(K,N) и справедливостью BM(K,N), которую мы недавно доказали в рамках взвешенных римановых многообразий.
2.Ороциклическое неравенство Брунна-Минковского.
(arXiv)
Автор : Ротем Ассулин, Боаз Клартаг
Аннотация: Для двух непустых подмножеств A и B гиперболической плоскости H2 определим их орициклическую сумму Минковского с параметром λ=1/2 как множество [A:B]1/2⊆H2 всех средних точек орициклических кривых, соединяющих точка в A с точкой в B. Эти орициклические кривые параметризуются гиперболической длиной дуги, а орициклическая сумма Минковского с параметром 0‹λ‹1 определяется аналогично. Мы доказываем, что когда A и B измеримы по Борелю,
Площадь([A:B]λ)------------√≥(1-λ)⋅Площадь(A)-------√+λ⋅Площадь(B)-- ------√,
где Площадь означает гиперболическую площадь, с равенством, когда A и B являются концентрическими дисками в гиперболической плоскости. Мы также доказываем орициклические версии неравенств Прекопы-Лейндлера и Борелла-Браскампа-Либа. Эти неравенства немного отклоняются от парадигмы метрического пространства с мерой кривизны и неравенств типа Брунна-Минковского, где структура метрического пространства накладывается на многообразие, а соответствующие кривые обязательно являются геодезическими, параметризованными длиной дуги.
