Это совсем не очевидно, но вот несколько способов взглянуть на это.
Начнем с единичного куба (длины всех сторон равны 1, а объем — 1 кубическая единица).
Вы можете разрезать этот куб на 6 равных пирамид с квадратным основанием, каждая из которых имеет половину высоты куба.
Объем каждой из пирамид половинной высоты должен быть равен 1/6, поэтому исходная пирамида высотой 1 должна иметь объем 1/3.
Другой способ оценить объем — сначала посмотреть на окружающую его треугольную призму, как показано ниже.
Теперь, если мы переместим вершину пирамиды в одну из вершин треугольной призмы, мы не изменим высоту пирамиды, поэтому объем должен остаться прежним. (Это называется сдвиговой трансформацией — правда, я не обосновал, что сдвиговая трансформация сохраняет объем, но думаю, что эта часть достаточно интуитивна).
Теперь мы разделили объем треугольной призмы на две пирамиды (исходная пирамида с квадратным основанием, показанная розовым цветом выше, и новая пирамида с треугольным основанием, показанная желтым цветом выше).
Обе пирамиды имеют одинаковую высоту, но основание желтой треугольной пирамиды составляет ровно половину площади розовой квадратной пирамиды, поэтому ее объем также должен быть вдвое меньше.
Теперь мы знаем, что сумма объемов этих двух пирамид должна давать объем треугольной призмы, равный 1/2.
Это еще один способ увидеть, что объем исходной пирамиды должен составлять 1/3.
Этот аргумент можно распространить на другие пирамиды с прямоугольным основанием, но, возможно, нельзя распространить на другие пирамиды (например, на конусы).
Если у вас есть идеи или ссылки на интуитивные доказательства для этих случаев, оставьте комментарий!
